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title: "Principes et composants de l'électrotechnique"
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author: [SCHINDLER Hugo]
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# Chapitre 1 : Introduction à l'électrotechnique
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1T d'eau sur 400m pour 1kWh
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**Électrotechnique** : Discipline traitant des dispositifs ou des systèmes mettant en jeu de l'énergie sous forme "électrique".
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L'électricité n'est pas une énergie mais un vecteur de l'énergie.
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## I/ Production de l'électricité
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###1/ Comment produit-on ?
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Par conversion de puissance mécanique en puissance électrique avec des machines tournantes, machine synchrone. cf TCE 2A
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Génération directe de courant. Photovoltaïque (source de courant)
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Pile combustible ($H_2$)
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###2/ Combien produit-on ?
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102 100 MW (France 2012)
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91 611 MW en 2016
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En moyenne, 60 000 MW
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eco2000.fr site web
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$\Rightarrow$ 1kW par habitant (tout usage confondu)
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En énergie 2016 1MWh pour 50Euros sur les marchés de gros, Production 527TWh
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- 72.8% Nucléaire
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- 12.1% Hydro
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- 8.7% Thermique à flamme
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- 3.9% Éolien
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- 1.6% Photovoltaïque PV
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- 0.8% Biomasse
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Consommation 483TWh export, pertes (2% sur grandes lignes et 5% sur basses tension)
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###3/ Pourquoi ?
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- 25% à 30% utilisation domestique
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- 25% secteur tertiaire
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- 25% secteur industriel
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- 2% à 3% transport
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## II/ Le développement de l’électrotechnique dans le monde économique
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###1/ Contraintes environnementales et pollution
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CO$_2$ et réchauffement climatique
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Ressources
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Pollution en ville (particules fines, NO$_X$, bruit)
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Électricité est le principal vecteur entre des ER(Énergie renouvelable) Éolien et PV mais pas le seul et pas toujours le meilleur.
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Smart Grid :
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- intégrant des ER
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- maîtrise de la demande
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- intégrations des VE (véhicules électrique)
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###2/ Système électrique embarqués
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#### a/ Automobile
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électrification des VE
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bon rendement
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des réservoir à la roue (13%, max 30% rare), pour une chaîne de motorisation thermique
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de la batterie à la roue (80%)
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#### b/ Naval
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Propulsion électrique
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Pod pour direction
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Catapulte électromagnétique maintenant avec moteur linéaire comparé avec vapeur pneumatique
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#### c/ aérien
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1MW sur Boeing 787
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Système pneumatique plus léger que électrique à puissance égale.
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Mais pneumatique plus difficile à entretenir
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Électrique batterie mais de énergie massique
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# Chapitre 2 : Système électrique en régimes alternatifs sinusoïdal
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## I/ Représentations
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###1/ Grandeurs caractéristiques
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I_alternatif $\Leftrightarrow$ valeur moyenne nulle sur la période
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signal sinusoïdale $v(t)=V_{max}cos(\omega t)$
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Valeur efficace : Root Mean Square RMS : $V_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} v^2(t)dt}$
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Signal sinusoïdal $V_{eff}=\frac{V_{max}}{\sqrt{2}}$
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fréquence $\Leftrightarrow$ période $\Leftrightarrow$ pulsation $f=\frac{1}{T}$ $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$
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Phase et déphasage $\delta=\omega \Delta t$ ou $\Delta t$ est l'écart temporel entre les 2 signaux
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**ATTENTION** : On ne somme pas les valeurs efficaces !
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Les lois des nœuds et mailles ne s'appliquent pas avec les valeurs efficaces.
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###2/ Représentation des signaux sinusoïdaux à fréquence imposée
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#### a/ Représentation complexe
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On associe à une grandeur sinusoïdale, $v(t)=V_{eff} 2\pi cos(\omega t+\delta)$ où $\delta$ est une phase déterminée par rapport à une référence choisie par l'utilisateur,
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une référence complexe $\underline{V}=V_{eff}e^{j\delta}$ notation US $V_{RMS}\angle \delta$
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c'est la convention spécifique à électrotechnique.
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La f et la pulsation ne sont pas pris en compte dans cette représentation car f est imposée à l'ensemble du circuit et n'est pas nécessaire pour caractériser le signal.
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Valable car dans le cadre de l'ARQS : $\lambda =cT=6000 km à 50Hz$
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#### b/ Représentation vectorielle / Diagramme de Fresnel
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Chaque signal est représenté par un vecteur, de longueur représentant la valeur efficace et d'angle représentant la phase du signal par rapport à la référence.
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###3/ Le dipôle régime sinusoïdale
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schéma 1
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#### a/ notion d'impédance
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Un dipôle alimenté par $v(t)=V_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t+\delta)$ absorbe (s'il est linéaire) un courant $i(t)=I_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t+\delta+\phi)$. On choisit $\delta=0$
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v(t) $\Leftrightarrow$ $\underline{V}=V_{eff}e^{j0}=V_{eff}$
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i(t) $\Leftrightarrow$ $\underline{I}=I_{eff}e^{-j\phi}$
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On caractérise le dipôle par son impédance $\underline{Z}$ telle que $\underline{Z}=\frac{\underline{V}}{\underline{I}}=Ze^{j\phi}$ où $Z=\frac{V_{eff}}{I_{eff}}$ et $\phi=Arg(\underline{V})-=Arg(\underline{I})$.
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#### b/ cas de la résistance
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v(t)=R*i(t)
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$\phi=0$ $Z=R$ $\underline{Z}=R$
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Schéma 2
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#### c/ dipôle inductif
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$v(t)=L*\frac{di(t)}{dt}$
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$Z=L\omega$ $\phi=+\pi/2$
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$\underline{Z}=jL\omega$
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Schéma 3
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#### d/ dipôle capacitif
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$i(t)=C*\frac{dv(t)}{dt}$
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$Z=1/C\omega$ $\phi=-\pi/2$
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$\underline{Z}=1/jC\omega$
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Schéma 4
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## II/ Puissance dans un système monophasé en régime sinusoïdal
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###1/ Puissance instantanée
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$p(t)=v(t)i(t)$
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$v(t)=V_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t)$
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$i(t)=I_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t-\phi)$
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$p(t)=2 V_{eff} I_{eff} cos(\omega t-\phi) cos(\omega t)$
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$p(t)=V_{eff} I_{eff}(cos(2\omega t)cos(\phi)+sin(2\omega t)sin(\phi)+cos(\phi))$
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###2/ Puissance active
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$<p(t)>=V_{eff} I_{eff}(<cos(2\omega t)cos(\phi)>+<sin(2\omega t)sin(\phi)>+<cos(\phi)>)=V_{eff} I_{eff} cos(\phi)=P$
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P est la puissance active. C’est la puissance qui contribue au transfert de l'énergie au dipôle, correspond à un travail utile pour le récepteur (peut être convertit en puissance mécanique thermique, unité [W]
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###3/ Puissance réactive
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$p(t)=P(1+cos(2\omega t)+V_{eff} I_{eff} sin(\phi)sin(2\omega t)$
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$Q=V_{eff} I_{eff} sin(\phi)$
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$p(t)=P(1+cos(2\omega t)+Qsin(2\omega t)$
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unité [V A r] Volt ampère réactif
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Q est la puissance réactive et correspond à une oscillation d'énergie entre 2 dipôles, l'un étant conductif, l'autre capacitif.
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* Résistance
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Schéma 5
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$p(t)=P(1+cos(2\omega t)$
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* Bobine
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Schéma 6
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$\phi=+\pi/2$
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P=0, $Q=V_{eff}I_{eff}$
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$p(t)=Q sin(2\omega t)$
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* Capacité
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Schéma 7
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$\phi=-\pi/2$
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P=0, $Q=-V_{eff}I_{eff}$
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$p(t)=Q sin(2\omega t)$
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exemple schéma 8
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###4/ Théorème de Boucherot
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Conventions pour la puissance réactive Q
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Q est liée à une oscillation d'énergie la plupart des charges courantes (moteurs, convertisseurs) consomment de la puissance active et sont inductifs $0<\phi<2\pi/2$. Par convention et abus de langage, on dit qu'un dipôle inductif consomme de la puissance réactive, qu'un dipôle capacitif fournit de la puissance réactive.
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|Convention d'orientation du courant|Capacitif|Inductif|
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|:---------------------------:|:---------------------------:|:---------------------------:|
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|Récepteur|Q<0|Q>0|
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|générateur|Q<0|q<0|
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**Théorème de Boucherot**
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La puissance active d'un ensemble de dipôle est égale à la somme algébrique des puissances actives des dipôles de cet ensemble
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La puissance réactive d'un ensemble de dipôle est égale à la somme algébrique des puissances réactives des dipôles de cet ensemble
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$P=\sum_iP_i$
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$Q=\sum_iQ_i$
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###5/ Puissance apparente
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$S=V_{eff}I_{eff}=\sqrt{P^2+Q^2}$
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Unité [V A]
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On ne peut pas sommer les puissance apparentes.
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$S=\sqrt{(\sum_iP_i)^2+(\sum_iQ_i)^2}\neq\sum_i(P_i^2+Q_i^2)$
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Utilisé pour le dimensionnement des installations électrique.
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$S_n=V_{effn}I_{effn}$ la puissance apparente nominale.
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la **valeur nominale** d'une grandeur désigne la valeur pour laquelle un équipement à été dimensionnée.
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Exemple l’amphithéâtre
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$I_{effn}\leftrightarrow$ Section des conducteurs
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$V_{effn}\leftrightarrow$ Épaisseur des isolants. Section des circuits magnétiques et nombre de spires des enroulements
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$S_n\Leftrightarrow$ taille/masse/coût
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**Puissance apparente complexe**
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$\underline{S}=\underline{V}.\underline{I}^*=P+jQ=Se^{j\phi}$
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$\rightarrow$ outil mathématique
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Schéma 9
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###6/ facteur de puissance. Compensation
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$f_p=\frac{P}{S}$
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=puissance utile (énergie) transférée/dimensionnement de l'appareil.
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En exploitation, on vise l'obtention de $f_p$ le plus proche de 1.
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En régime sinusoïdale,
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$f_p=\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}=cos{\phi}$
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pour $f_p\rightarrow 1$ $Q\rightarrow0$
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Charge connecté au RTE (réseau de transport de l'électricité)
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$\frac{Q}{P}=\frac{sin(\phi)}{cos(\phi)}=tan(\phi)\leq0.4$
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Une charge inductive devra être compensé pas des bancs de condensateurs (cf TD1 ex2)
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Régine alternatif non sinusoïdale
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$f_p=\frac{P}{S}$
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Si I non sinusoïdal,
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$I_{eff}=\sqrt{I_{1eff}+I_{2eff}+I_{3eff}+I_{4eff}+I_{5eff}+I_{6eff}+I_{7eff}+...+I_{keff}+...}$
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Si V est sinusoïdale
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$p_1(t)=v(t)*i_1(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)I_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t - \phi_1)$
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$<p_1(t)>=V_{eff}I_{eff}cos(\phi)=P_1$
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$p_2(t)=v(t)*i_2(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)I_{eff}\sqrt{2}cos(2\omega t - \phi_2)$
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$<p_1(t)>=0$ (produit scalaire)
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$<p_k(t)>=0, k\geq2$
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$F_p=\frac{P}{S}=\frac{V_{eff}I_{1eff}cos(\phi_1)}{V_{eff}I_{eff}}=\frac{I_{1eff}}{I_{eff}}cos(\phi_1)=f_d.f_{\phi}$
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$f_d$ est le facteur de déformation, $f_{\phi}$ est le facteur de déphasage.
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## III/ Le triphasé
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###1/ Définition d'un système triphasé.
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$\left\{\begin{matrix}
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v_1(t)=V_{1eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_1)\\
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v_2(t)=V_{2eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_2-\frac{2\pi}{3})\\
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v_3(t)=V_{3eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_3-\frac{4\pi}{3})
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\end{matrix}\right.$
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${v_1(t), v_2(t), v_3(t)}$ sont les **tensions simples**, ou tensions phases neutre.
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$V_{1eff}=V_{2eff}=V_{3eff}=V_{eff}$
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$\delta_1=\delta_2=\delta_3=\delta=0$
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les 3 phases sont déphasées de $2\pi/3$ les unes par rapport aux autres.
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le système triphasé est **équilibré**.
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${v_1(t), v_2(t), v_3(t)}$ est d'**ordre directe**.
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${v_1(t), v_3(t), v_2(t)}$ est d'**ordre inverse**.
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$\left\{\begin{matrix}
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v_1(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)\\
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v_2(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)\\
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v_3(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)
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\end{matrix}\right.$
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C'est un système homo-polaire.
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**FORTESCUE** : Un système de tensions (courants) triphasé déséquilibré peut se décomposer en une somme unique de 3 système de tension triphasé équilibrés dont l'un est directe, le secondaire inverse et le 3eme homo-polaire.
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Diagramme de Fresnel d'un système triphasé équilibré direct.
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Schéma 10
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Système triphasé équilibré direct (ou inverse)
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$v_1(t)+v_2(t)+v_3(t)=0$
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###2/ Tension entre phases.
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On définit les tensions entre phases, ou encore **tensions composées** ou tension phase-phase.
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$\left\{\begin{matrix}
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U_{12}=v_1(t)-v_2(t)\\
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U_{23}=v_2(t)-v_3(t)\\
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U_{31}=v_3(t)-v_1(t)
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\end{matrix}\right.$
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Pour un système de tensions triphasé équilibré directe,
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$\left\{\begin{matrix}
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U_{12}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\frac{\pi}{6})\\
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U_{23}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-\frac{\pi}{2})\\
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||
U_{31}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-\frac{7\pi}{6})
|
||
\end{matrix}\right.$
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${U_{12}, U_{23}, U_{31}}$ est un système de tensions triphasé équilibré direct.
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Schéma 11
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$U_{12}(t)+U_{23}(t)+U_{31}(t)=0$
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**$U_{eff}=\sqrt{3}V_{eff}$** est la tension efficace de la tension composée.
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Sauf mention contraire, le tension d'un système triphasé est la tension efficace entre phases.
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|400V||20kV||63kV|90kV|225kV|400kV|
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|:--------------------:|:--------------------|:--------------------|:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:|
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|BT|1kV|HTA|50kV|HTB||||
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###3/ Les couplages
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#### a/ Couplage étoile
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Schéma 12
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Si $\underline{Z_1}=\underline{Z_2}=\underline{Z_3}=\underline{Z}$
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Et ${v_1, v_2, v_3}$ équilibré, ${i_1(t), i_2(t), i_3(t)}$ est triphasé équilibré.
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$\underline{i_N}=\underline{i_1}+\underline{i_2}+\underline{i_3}=0$
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#### b/ Schéma monophasé étoile équivalent
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Pour un système triphasé (tri$\sim$ ou 3$\sim$) équilibré, on peut réduire le système à une seule phase.
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Schéma 13
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#### c/ Couplage triangle
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$\Delta$ Delta, D, d
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Schéma 14
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$\left\{\begin{matrix}
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U_{12}=\underline{Z} . \underline{J_{12}}\\
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U_{23}=\underline{Z} . \underline{J_{23}}\\
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U_{31}=\underline{Z} . \underline{J_{31}}
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\end{matrix}\right.$
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Où J est le courant d'enroulement.
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Dans un couplage $\Delta$, le neutre n n'est pas matérialisé, les tensions simples ne sont pas mesurables, mais peuvent être définis virtuellement.
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Loi des nœuds
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$\left\{\begin{matrix}
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i_1(t)=j_{12}(t)-j_{31}(t)\\
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i_2(t)=j_{23}(t)-j_{12}(t)\\
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i_3(t)=j_{31}(t)-j_{23}(t)
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||
\end{matrix}\right.$
|
||
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$\left\{\begin{matrix}
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i_1(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi)\\
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i_2(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi-\frac{2\pi}{3})\\
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||
i_3(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi-\frac{4\pi}{3})
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\end{matrix}\right.$
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$I_{eff}=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{3}$ avec $J_{eff}=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}$
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**$I_{eff}=J_{eff}\sqrt{3}$**
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#### d/ Équivalence triangle étoile
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On peut représenter un système 3$\sim \Delta$ par un système virtuel équivalent couplé en Y, où les impédances $\underline{Z_e}=\frac{\underline{Z_t}}{3}$
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Transformation de Kennedy
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$\Delta,U_{eff}=Z_eJ_{eff}$
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$Y, V_{eff}=Z_eI_{eff}$
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Avec $U_{eff}=V_{eff}\sqrt{3}$
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$J_{eff}=\frac{I_{eff}}{\sqrt{3}}$
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$U_{eff}=....=V_{eff}\sqrt{3}$
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$Z_t=3Z_e$
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###4/ Puissances
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**Puissances instantanées**
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$p_1(t)=v_1(t).i_1(t)$
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$p_2(t)=v_2(t).i_2(t)$
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$p_3(t)=v_3(t).i_3(t)$
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$P_1=V_1I_1cos(\phi_1)$
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$P_2=V_2I_2cos(\phi_2)$
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$P_3=V_3I_3cos(\phi_3)$
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$Q_1=V_1I_1sin(\phi_1)$
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$Q_2=V_2I_2sin(\phi_2)$
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$Q_3=V_3I_3sin(\phi_3)$
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Avec $V_1=V_2=V_3=V$, $\phi_1=\phi_2=\phi_3=\phi$ et $I_1=I_2=I_3=I$,
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Boucherot
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$P=3VIcos\phi=3UJcos\phi$
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$Q=3VIsin\phi=3UJsin\phi$
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Y, $\Delta$
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$U=V\sqrt{3}$
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$I=J\sqrt{3}$
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$P=\sqrt{3}UIcos{\phi}$
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$P=\sqrt{3}UIsin{\phi}$
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Puissance apparente
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$S \neq S_1+S_2+S_3$
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$S=\sqrt{P^2+Q^2}$
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3$\sim$ équilibré
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$S=\sqrt{3}UI=3VI$Y, $=3UI\Delta$
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$p_1(t)=P_1(1+cos(2\omega t)+Q_1sin(2\omega t)$
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$p_2(t)=P_2(1+cos(2\omega t+\frac{2\pi}{3})+Q_2sin(2\omega t+\frac{2\pi}{3})$
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||
$p_3(t)=P_3(1+cos(2\omega t-\frac{2\pi}{3})+Q_3sin(2\omega t-\frac{2\pi}{3})$
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$P_1=P_2=P_3$ et$ Q_1=Q_2=Q_3$
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$p(t)=p_1(t)+p_2(t)+p_3(t)=P_1+P_2+P_3=P$
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###5/ Intérêt du 3$\sim$
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**Densité de courant dans les conducteurs**
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$\delta=\frac{I_{eff}}{S}=constante$
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$R=\rho\frac{l}{S}$
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Schéma 15
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* En Monophasé
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$P=U_mI_m$ (cos$\phi$=1)
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$\delta=\frac{I_m}{S_m}$ avec $S_m$ la section d'un conducteur monophasé.
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Volume de métal conducteur $2.l.S_m$
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* En 3 $\sim$
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$P=\sqrt{3}U_tI_tcos\phi$ (cos$\phi$=1)
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$\delta=\frac{I_t}{S_t}=\frac{I_m}{S_m}$
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Volume de métal conducteur $3.l.S_t$
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$P=\sqrt{3}U_tI_t=U_mI_m$
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Si $U_t=U_m$ alors $\frac{I_m}{I_t}=\sqrt{3}$
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$\frac{S_m}{S_t}=\sqrt{3}$
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3$\sim3lS_t$
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1$\sim2lS_m=2l\sqrt{3}S_t>3lS_t$
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Le triphasé permet un économie de métal conducteur ($\frac{3}{2\sqrt{3}}\tilde85\%$)
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* Pertes
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tableau à faire
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|1$\sim$|3$\sim$|
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|:---------------------------:|:---------------------------:|
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|$2R_mI_m^2$|$3R_tI_t^2$|
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|$2\rho\frac{l}{S_t}\sqrt{3}I_t^2>$ | $>3\rho\frac{l}{S_t}I_t^2$|
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13% de pertes en moins
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\newpage
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# Chapitre 3 : Bases de la physique pour l’électrotechnique
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## I/ Définitions et lois de l’électromagnétisme appliqué à l’électrotechnique
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###1/ Champs d'excitation et d'induction magnétiques
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$\vec{B}$ champ d'induction magnétique
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* [T]
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* Conservation du flux
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* Loi de Lenz
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$\vec{H}$ champ d'excitation magnétique
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* [A/m]
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* Théorème d'Ampère
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$\vec{B}$ et $\vec{H}$ sont liés par le comportement du matériau ou du milieu qu'il est soumis.
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Matériau linéaire : $\vec{B}=\mu\vec{H}$
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Vide : $\vec{B}=\mu_0\vec{H}$
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###2/ Théorème d'Ampère
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#### a/ Équation de Maxwell Ampère
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$\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$
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En milieu homogène ($\epsilon$ =constante, $\mu$ = constante) et isotropes ($\epsilon$ et $\mu$ scalaires) :
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$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}$
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$\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}+\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
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Dans le vide, l'air, le cuivre : $\vec{B}=\mu_0\vec{H}$
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$\vec{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
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En électrotechnique, les courants sont crées par conduction à partir d'une source de tension (souvent sinusoïdale)
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$\vec{j}=\sigma\vec{E}$
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$\sigma$ conductivité
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$\vec{rot}\vec{H}=\sigma\vec{E}+\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
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Dans le cas d'un système sinusoïdale à 50Hz, on peut comparer $\sigma$ à $\epsilon_0\omega$.
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$\frac{\epsilon_0\omega}{\sigma}=\frac{8.85*10^{-92}*100\pi}{59.6*10^{6}}=4.7*10^{-17}$
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Équation simplifié : $\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}$
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#### b/ Intégration
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On intègre l'équation simplifié sur une surface S délimité par un contour fermé C.
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$\int\int_S\vec{rot}\vec{H}.\vec{dS}=\int\int_S\vec{j}.\vec{dS}$
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Formule de Stokes : $\int\int_S\vec{rot}\vec{H}.\vec{dS}=\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\int\int_S\vec{j}.\vec{dS}$
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#### c/ Application à l’électronique
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La densité de courant est portée par des conducteurs bobinés autour d'un circuit (ou noyau) magnétique.
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$\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\sum i$
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signe des courants dans la relation précédente : Cela dépend de l'orientation du courant choisi i. On choisit en général un contour tangent aux lignes de champs, et sur lequelle champ $\vec{H}$ est de module constant, au moins par plages.
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$\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\sum_kH_kL_k\sum i$
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#### d/ Comportement à l'interface
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$\vec{H}$ conserve sa composante tangentielle à l'interface des séparations entre 2 milieux.
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Schéma XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
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**ATTENTION, il manque la fin**
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###3/ Conservation du flux
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#### a/ Maxwell-Thomson
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$div \vec{B}=0$
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Green-Ostrogradsky : $\int\int\int_V div\vec{B}dV=\oint\oint_S\vec{B}\vec{dS}=0$
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Le flux d’induction est conservatif. On choisit judicieusement ds volumes dont la surface latérale est tangent aux lignes de champs d'induction : tube d'induction.
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Schéma XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
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**ATTENTION, il manque la fin**
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#### b/ Conversation de la composante normale de $\vec{B}$ à l'interface entre 2 milieux.
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Schéma 19
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$\phi_{S1}+\phi_{S2}+\phi_{Sl}=0$
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Si $\phi_{Sl}=0$ : $\phi_{S1}+\phi_{S2}\rightarrow 0$
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$\vec{B}=B_t\vec{t}+B_n\vec{n}$
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$\phi_{S1}$=...=B_{n1}S_1$
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$\phi_{S2}$=...=-B_{n2}S_2$
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En choisissant, $S_1=S_2$ et avec $\phi_{S1}+\phi_{S2}=0$, on obtient localement : $B_{n1}=B_{n2}$
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###4/ La loi de Lenz
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maxwell-Faraday : $\vec{rot}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
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Stockes : $\int\int_S\vec{rot}\vec{E}=\oint_C\vec{E}.\vec{dl}=-\int\int_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
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Si la surface est fermée et fixe dans le temps (cas d'une spire)
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$\oint_C\vec{E}.\vec{dl}=e$ (f.e.m force électromotrice induite dans la spire)
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Donc $e=-\frac{d\phi}{dt}$ **Loi de Lenz**
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e est en convention générateur. Le sens de $\phi$ est lié aux courants dans les enroulements et e est en convention générateur par rapport au courant dans l'enroulement qui permet de générer $\phi$.
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Schéma 20
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Cas d'un nombre multiples de spires connectés en série. on définit le flux $\Phi$
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$\Phi=\sum_i\phi_i$
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où n est le nombre de spires.
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$e=-\frac{d\Phi}{dt}$ où e est la f.e.m aux bornes de l’enroulement.
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Si les spires sont soumises au même flux : $\phi_i=\phi\Rightarrow\Phi=n\phi$
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$e=-n\frac{d\phi}{dt}$
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$v(t)=n\frac{d\phi}{dt}$
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## II/ Matériaux magnétiques linéaires
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###1/Caractérisation des matériaux linéaires
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**matériau linéaire** : relation linéaire (et scalaire) entre $\vec{B}$ et $\vec{H}$.
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$\vec{B}=\mu\vec{H}$ avec $\mu$ la perméabilité de matériau.
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* Vide, air, cuivre : $\mu_0=4\pi*10^{-7}$
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1Tesla dans l'ai, $H=\frac{B}{\mu_0}\sim10^6$A/m
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Moteur électrique diamètre 30cm
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une ligne de champ mesure environ 1m, il faut 1 000 000 A pour obtenir 1T.
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* Matériaux ferreux ont une perméabilité
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$\mu=\mu_r\mu_0$
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$\mu_r$ perméabilité relative $\mu_r\sim10^3à10^4$
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$H=\frac{B}{\mu}\sim10^3$A/m si $\mu_r=1000$
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$nI=1000A$ pour obtenir 1T
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Hl=nI, on peut prendre n=100 et I=10A
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les matériaux ferreux concentrent et amplifient le champ $\vec{B}$.
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###2/ canalisation du flux
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à l'interface de 2 milieux, conservation de $B_n$et $H_t$
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On définit $tan\alpha=\frac{B_t}{B_n}$
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$\alpha$ est l'angle d'incidence entre $\vec{B}$ et la normale $\vec{n}$.
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Schéma 21
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$tan\alpha_1=\frac{B_{t1}}{B_{n1}}$
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$tan\alpha_2=\frac{B_{t2}}{B_{n2}}$
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$\frac{tan\alpha_1}{tan\alpha_2}=\frac{B_{t1}}{B_{t2}}$ Or $B_{t1}=\mu_1H_{t1}$ et $B_{t2}=\mu_2H_{t2}$ et $H_{t1}=H_{t2}$
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**$\frac{tan\alpha_1}{tan\alpha_2}=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$** **Théorème de la réfraction magnétique** différent de l'optique
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Si $\mu_1>>\mu_2$ (fer>>air)
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$tan\alpha_2=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}tan\alpha_1$ et si $\alpha_1<90$°
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$tan\alpha_2\sim 0$
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$B_{t2}\sim0$, il ne reste que la composante normale qui traverse l'interface.
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La composante tangentielle reste canalisé dans le matériau où $\mu$ est élevée.
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Un circuit magnétique tangent aux lignes d'induction canalise le flux.
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Problème des angles droits : fuite de flux normal à la surface : angles arrondis
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Schéma 22
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Si passage obligé dans l'air (cas de l'entrefer) : B orthogonal à la surface de l’interface
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Schéma 23
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$\mu_r<\infty$ il n'y a pas de conducteur de flux magnétique parfait $\Rightarrow$ fuites de flux dans l'air.
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###3/ Énergie magnétique
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On considère un circuit magnétique composé d'un enroulement de n spires bobinés autour d'un noyau de section S de longueur de ligne de champ moyenne l.
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Schéma 24
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L'énergie reçue peut se calculer à partir de l'énergie électrique fournie.
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$W=\int^{t_0}_0v(t)i(t)dt=\int^{t_0}_0i(t)\frac{d\Phi}{dt}dt=\int^{\Phi_0}_0i(\Phi)d\Phi$
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$\Phi=n\phi$
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$W=n\int^{\phi_0}_0i(\phi)d\phi$
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$\phi=B.S$
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$W=nS\int^{B_0}_0i(B)dB$ car S est constante.
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Théorème d'Ampère
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ni=Hl
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$W=lS\int^{B_0}_0H(B)dB$ = volume du noyau * densité volumique d'énergie magnétique.
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B=f(H) $\Rightarrow$ B=$\mu$H
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Schéma 25
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$w^+=\int_0^{B_0}HdB>0$
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$w^-=\int_{B_0}^0HdB<0$ énergie de démagnétisation.
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###4/ induction (propre et mutuelle)
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#### a/ Inductance propre
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Système magnétique avec matériau linéaire.
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|I|$\rightarrow$|H|$\rightarrow$|B|$\rightarrow$|$\phi$|$\rightarrow$|$\Phi$|
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|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|
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||$H=\frac{nI}{l}$||$B=\mu H$||$\phi=BS$||$\Phi=n\phi$||
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Tous est linéaire.
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On définit **$L=\frac{\Phi}{I}$** L'inductance
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Exemple :
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Système magnétique avec noyau de section constante et en négligeant les fuites.
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Schéma 26
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$\Phi=n^2\mu\frac{S}{l}$
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#### b/ Énergie et inductance
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$W=Sl\int_0^{B_0}HdB$
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matériau linéaire $B=\mu H$ H=ni/l
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$W=Sl\int \frac{ni}{l}\mu dH$
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$W=n^2\frac{\mu S}{l}\frac{i_0^2}{2}$
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**$W=\frac{1}{2}LI_0^2$**
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**$W=\frac{1}{2}\frac{\Phi_0^2}{L}$**
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#### c/ Inductance mutuelle
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Lorsque plusieurs enroulements sont bobinés autour d'un même noyau magnétique, on définit : **$\Phi_i=M_{ij}I_j$** et $M_{ij}=\frac{\Phi_i}{I_j}$ est l'inductance mutuelle de l'enroulement j sur i.
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De même que pour l'inductance propre : $M_{ij}=n_in_j\mu\frac{S}{l}$
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$e_i=-\frac{d\Phi_i}{dt}$ où
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$\Phi_i=L_iI_i+\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}I_k$
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$e_i=-L_i\frac{dI_i}{dt}-\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}\frac{dI_k}{dt}$
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$v_i=L_i\frac{dI_i}{dt}+\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}\frac{dI_k}{dt}$
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###5/ Réluctance et force magnéto-motrice
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Pour un circuit magnétique fermé de section constante, on peut générer le champ H à l'aide d'un enroulement de n spires, parcourus par un courant I, on appelle force magnéto-motrice la grandeur nI. On peut relier cette grandeur à un flux d'induction $\phi$.
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Hl=nI
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$nI=\frac{l\phi}{\mu S}$ (nI est la f.m.m)
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**Réluctance** $\Re=\frac{l}{\mu S}$
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On note que $L=\frac{n^2}{\Re}$
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Analogie Schéma 27
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|Magnétique|électrique|
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|:--------------------------------------:|:--------------------------------------:|
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|f.m.m nI|f.e.m|
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|réluctance $\Re=\frac{l}{\mu S}$|résistance $R=\frac{l}{\sigma S}$|
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|flux $\phi$ : conservation du flux|Courant I: loi des nœuds|
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|association parallèle et série des $\Re$|association parallèle et série des R|
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|point diviseur|point diviseur|
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|flux/f.m.m|courant/tension|
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|loi d'Ohm magnétique $nI=\Re\phi$|U=Ri|
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###6/ Prise en compte des fuites
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La canalisation de $\phi$ n'est pas parfaite, il n'existe pas d'isolant magnétique. Une partie du flux $\phi$ sort du noyau magnétique et se reboucle dans l'air où $\mu$ est plus faible.
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Conséquence pratiques : il faut surexciter le système avec des valeurs de I plus élevé, prise en compte des fuites (**différent des pertes**) par le coefficient de **Hopkinson** r qui est le rapport entre flux total $\phi_t$ et le flux utile $\phi_u$ du système.
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$r=\frac{\phi_t}{\phi_u}=\frac{\Re_u}{\Re_t}$
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Exemple : Schéma 27
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## III/ Non linéarité des matériaux
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les matériaux à $\mu_r$ élevé sont linéaires pour des valeurs de B limités (0.5, 0.6T)
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###1/ Saturation
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$\mu$ élevé pour B et H faibles puis $\frac{\Delta B}{\Delta H}$ décroissant et tend vers $\mu_0$.
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Schéma 28
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Conséquences :
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- Sur intensité
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- génération d'harmonique en régime sinusoïdal
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- ferrorésonnance
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B(t) et v(t)sinusoïdal
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$B=+\int\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS}cos(\omega t)dt$
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$B=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}sin(\omega t)=B_{max}sin(\omega t)$
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Schéma 29
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Pour éviter la saturation, il faut limiter B à des valeurs relativement faibles.
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$B_{max}\leq B_{sat}$
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en Sinusoïdal,
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$B_{max}=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}\leq B_{sat}$
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On dimensionne $\{\frac{V_{eff}}{n}, S, \omega\}$ de sorte à limiter $B<B_{sat}$
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###2/ Hystérésis
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#### a/ Définition
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Schéma 30
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$B_r$ induction rémanente, lorsque H=0
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$H_c$ champ coercitif, lorque B=0
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#### b/ sous cycle d’hystérésis, droite de recul
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Schéma 31
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Sous cycle d’hystérésis : inclus dans le cycle principal
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**Matériau dur** : matériau magnétique à cycle d’hystérésis large
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**Matériau doux** : matériau magnétique à cycle d’hystérésis étroit
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Schéma 32
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Dans les matériaux dur, les sous-cycles d’hystérésis sont très aplatis. On peut les assimiler à des droites : **droites de recul**
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#### c/ Pertes par hystérésis
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$w=\int HdB$
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Lors du parcours d'un cycle, le système absorbe une densité d'énergie volumique égale à la surface du cycle $A_H$, et une énergie perdue, égale à $W_H=Vol.A_H$. La puissance perdue peut se modéliser par $P_H=frac{W_H}{T}=W_Hf=Vol.A_H.f$
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Pour un système non saturé, $A_H$ est proportionnelle à $B_{max}^2$, $B_{max}=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}$
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$P_H(V_{eff})=KV_{eff}^2fVol$
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A fréquence finie, les $P_H$ sont proportionnelles à $V_{eff}^2$. On peut modéliser électriquement $P_H$ par une résistance en parallèle avec l'enroulement.
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Schéma 34
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#### d/ Source de force magneto motrice (f.m.m.) générée par un aimant
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Aimnat longueur $l_a$, section $S_a$
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Aimant = Source de fmm car B et H de sens oppposé possible sur le cycle
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$\sum H_il_i=0$
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$H_al_a+\sum_{i\neq a}H_il_i=0$
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Correction du flux : $\phi_a=\phi \Leftrightarrow B_aS_a=B_iS_i$ pour obtenir $B_a$ et $B_i$ non nuls et de même signe , il faut que $H_a$ soit de signe opposé au $H_i$.
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$B_a=B_r+\mu_aH_a$*$\Re_a$
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$\Re_a=\frac{l_a}{\mu_aS_a}$
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$\frac{B_al_a}{\mu_aS_a}=\frac{B_rl_a}{\mu_aS_a}+\frac{H_al_a}{S_a}$
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avec $\phi=B_aS_a$
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$\Re_a\phi_a=\frac{B_rl_a}{\mu_a}+H_al_a$
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$\frac{B_rl_a}{\mu_a}-\Re_a\phi_a=-H_al_a$
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$\frac{B_rl_a}{\mu_a}$ est la caractéristique de l'aimant
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f.m.m à vide : modèle équivalent de l'aimant
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Schéma 36
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Exemple d'un circuit avec aimant et entrefer :
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$B_aS_a=B_eS_e$ avec $B_e=\mu_0H_e$
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H_al_a+H_ee=0
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Donc $B_a=-\mu_0\frac{l_a}{e}\frac{S_e}{S_a}H_a$ droite de charge du circuit
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**circuit élect équivalent : Schéma 37**
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### 3/ Pertes par courants de Foucault
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Noyau magnétique à base de fer, qui est conduteur de l'électricité et est soumis à des varations temporelle du champs magnétique $\vec{B}$. Des courants sont crées dans le fer et leur circulation génère des pertes par effet Joule
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2 modélisations :
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- Voir le poly : résolution analytique ancienne inutile.
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- Maillage élément fini : equation de Maxwell
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On considère un circuit magnétique de section constante S
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Schéma 38
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A l'intérieur d'une tranche de surface S, on considère une spire élémentaire de surface $\lambda S$.
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Dans cette spire, une variation de flux $\phi=BS$ induit une fem $e=-\lambda\frac{d\phi}{dt}$.
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L'enroulement qui sert de source de fmm est alimenté avec une tension $v(t)=+n\frac{d\phi}{dt}$ (en négligeant les pertes Joule dans les conducteurs de l'enroulement).
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$e(t)=-\frac{\lambda}{n}v(t)$.
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En notant $r_i$ la résistance de la spire élémentaire, on peut quantifier les pertes dans cette spire.
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$d^2P_F=e^2/r_i=(\frac{\lambda}{n})^2\frac{v^2}{r_i}$
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En intégrant sur toute la surface de la section du circuit (en intégrant $\lambda$ entre 0 et 1) : $dP_F=\propto v^2$
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Pour le circuit entier, on intègre sur toute la longueur, $P_F=kv^2$, où k est $\propto$ à la longueur du circuit (si celui-ci est de section constante)
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Fin de la démo
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En régime sinusoïdal,
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$B_{max}=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{S_n\omega}$
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$P_F=KV^2=K(\frac{S_n\omega B_{max}}{\sqrt{2}})^2$
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$P_F$ est proportionnel à $f^2$
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**Réduction de $P_F$**
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* Utilisation de matériaux à résistance élevé
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* Feuilletage des circuits magnétique parallèle aux lignes de champ d'induction
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### 4/ Pertes fer
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Les pertes fer représentent l'ensemble des pertes de puissance qui ont lieu dans le matériau magnétique.
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- Pertes par hystérisis (kfv^2)
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- Pertes par courants de Foucault (kf^2v^2)
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- Autres pertes
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Modèle générique : Résistance en parallèle de l'enroulement représentant électriquement les pertes magnétiques dans le circuit
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Schéma 39
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# Chapitre 4 : Le transformateur
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## I/ Structure et modélisation
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Principe toujours le même, un circuit magn fermé avec 2 enroulements bobinés (un primaire, un second sur la même colone)
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Schéma 40
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**Bornes homologue**
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: borne de chanque enroulement par lesquelles doivent entrer le courant pour générer un flux magnétique dans le même sens, ou dans la même orientation. Elle sont signalées par un point.
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C'est un problème pour celui qui cable le circuit. Nous on s'en fiche.
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### 1/ Modèle du transformateur parfait
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Hyp :
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- matériau magnétique linéaire et non saturé
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- matériau magnétique de perméabilité infinie
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- conducteur sans pertes
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#### a/ Loi de Lenz
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$e_1=-n_1\frac{d\phi}{dt}$
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$e_2=-n_2\frac{d\phi}{dt}$
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Donc $\frac{e_2}{e_1}=\frac{n_2}{n_1}=m$
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m est le **rapport de transformation**
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ATTENTION : conventon de signe : e est induite $\Rightarrow$ convention générateur
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Si l'on considère des tensions d'alimentation $v_1$ et $v_2$ en convention récepteur avec le courant :
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$v1=-e_1=n_1\frac{d\phi}{dt}$
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$v_2=-e_2=n_2\frac{d\phi}{dt}$
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et $\frac{v_2}{v_1}=m$
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#### b/ Théorème d'Ampère
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$\oint \vec{H}\vec{dl}=n_1i_1(t)+n_2i_2(t)$
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$Hl=n_1i_1(t)+n_2i_2(t)$
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ATTENTION : la somme des courants qui traversent la surface délimité par le contour avec des conventions de signe (générateur/récepteur)
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Or $\mu=\infty$ et $B=\mu H$
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$\Rightarrow$ H=0
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$n_1i_1(t)+n_2i_2(t)=Hl=0$
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$\frac{i_2(t)}{i_1(t)}=-\frac{n_1}{n_2}=-\frac{1}{m}$
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**Si convention générateur pour $i_2$ par rapport à $v_2$.**
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$n_1i_1(t)-n_2i_2(t)=Hl=0$
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$\frac{i_2(t)}{i_1(t)}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{1}{m}$
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Signe :
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On suppose $v_1=+U$, donc $i_1$ circule dans l'enroulement est est positif et croit. Donc H croit et positif. Or B=$\mu$H Donc B croit et positif. Or $\phi=BS$. Donc $\phi$ croit et est positif. Donc sa dérivée est positive. Donc e1=-derivée. e1 est négatif.
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C'est un détail !
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#### c/ Puissances
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En convention récepteurs,
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$\frac{v_2}{v_1}=m$, $\frac{i_2}{i_1}=-\frac{1}{m}$
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$p(t)=v_1(t)i_1(t)+v_2(t)i_2(t)=0$
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Le transformateur n'absorbe pas de puissance en conv générateur au secondaire et recepteur au primaire.
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$p_1(t)=v_1(t)i_1(t)$ absorbée
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$p_2(t)=v_2(t)i_2(t)$ fournie par le transformateur à l'extérieur
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$p_1(t)=p_2(t)\Rightarrow$ Conservation de la puissance.
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Schéma 41
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Transformateur parfait à 2 enroulments
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#### d/ transfert d'impédance
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Schéma 42
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Les puissances consommées dans $Z_1$ et $Z_2$ sont identiques.
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Le transfert d'impédance est utilisé pour s'affranchir du transformateur parfait dans l'étude des circuits électriques
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### 2/ Imperfections (à 50Hz)
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#### a/ Courant magnétisant et inductance de magnétisation
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$\mu\neq\infty$
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$\mu_r=10^3 à 10^4$ (fer)
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Théorème d'Ampère : $n_1i_1+n_2i_2=Hl=\Re_n\phi$
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Or $\phi=\frac{\Phi_1}{n_1}$
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Et on peut exprimer la reluctance sous la forme d'une inductance au primaire (Iaire) ou au secondaire (IIaire)
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$L_{m1}=\frac{n_1^2}{\Re_m}$ et $L_{m2}=\frac{n_2^2}{\Re_m}$
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au Iaire,
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$\Re_m=\frac{n_1^2}{L_{m1}}$ et $\phi=\frac{\Phi_1}{n_1}$
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$n_1i_1+n_2i_2=Hl=\Re_n\phi=\frac{n_1^2}{L_{m1}}\frac{\Phi_1}{n_1}=\frac{n_1\Phi_1}{L_{m1}}=n_1I_{\mu 1}$
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$I_{\mu 1}$ est le **courant magnétisant** absorbé au Iaire par le transformateur.
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et on a en fonctionnement,
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$n_1i_1+n_2i_2=n_1I_{\mu 1}$
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ou encore,
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$n_1i_1+n_2i_2=n_2I_{\mu 2}$
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où $I_{\mu 2}$ est le courant magnétisant exprimé au IIaire par le transformateur.
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à partir de $n_1i_1+n_2i_2=n_1I_{\mu 1}$
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Si le IIaire est en circuit ouvert,
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($Z_2=\infty$) donc $i_2=0$,
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$n_1i_1=n_1I_{\mu 1}$
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$i_1=I_{\mu 1}$
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Le courant est le courant absorbé par le transformateur lorsque l'un des 2 enroulement est à vide.
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$v_1(t)=+\frac{d\Phi_1}{dt}$ avec $\Phi=L_{m1}i_{\mu 1}$
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$v_1(t)=+L_{m1}\frac{di_{\mu 1}}{dt}$
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Le courant magnétisant est absorbé par une inductance de magnétisation en parallèle avec la source.
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Schéma 43
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ATTENTION :
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Si $v_1(t)$=constante (ou si <$v_1(t)$>$\neq 0$)
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$v_1(t)=L_m\frac{d\i_{\mu 1}}{dt}$
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si <$v_2(t)$>$\neq 0>0$
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$i_{\mu 1}=\int \frac{v_1(t)}{L_m}dt$ croit
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$i_{\mu 1}$ vas atteindre des valeurs élevées
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$i_{\mu 1}$ croit Donc H croit, donc B croit donc saturation
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Donc surintensité
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$\frac{\Delta B}{\Delta H}\sim\mu_0$
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Un transformateur n'est utilisable qu'en régime alternatif $<v(t)>=0$
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#### b/ Inductance de fuite
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$\phi_1(t)=\phi_c(t)+\phi_{f1}$
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$\phi_c$ est le flux commun entre les 2 enroulements
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$\phi_{f1}$ est le flux de fuites partielles de l'enroulement 1
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$\phi_2(t)=\phi_c(t)+\phi_{f2}$
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$v_1(t)=n_1\frac{d\phi_1}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}+n_1\frac{d\phi_{f1}}{dt}$
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$v_2(t)=n_2\frac{d\phi_2}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}+n_2\frac{d\phi_{f2}}{dt}$
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$v_1(t)-n_1\frac{d\phi_{f1}}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}$
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$v_2(t)-n_2\frac{d\phi_{f2}}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}$
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$l_{f1}=\frac{n_1\phi_{f1}}{i_1}$ est l'**inductance de fuite partielles** de (I)
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$l_{f2}=\frac{n_2\phi_{f2}}{i_2}$ est l'**inductance de fuite partielles** de (II)
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$v_1(t)-l_{f1}\frac{di_1}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}$
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$v_2(t)-l_{f2}\frac{di_2}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}$
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Schéma 44
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On peut ramener les deux inductances partielles à une inductance commune sur (I) ou (II), notée généralement $N_1$ ou $N_2$
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$N_1=l_{f1}+\frac{l_{f2}}{m^2}$
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$N_2=l_{f2}+m^2l_{f1}$
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#### c/ Résistance d'enroulement :
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$r_1=\rho\frac{l_1(longeur)}{S_1(section)}$
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$v_1(t)-r_1i_1(t)=n_1\frac{d\phi_c}{dt}$
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$v_2(t)-r_2i_2(t)=n_2\frac{d\phi_c}{dt}$
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Schéma 45
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$R_1=r_1+\frac{r_2}{m^2}$
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$R_2=r_2+r_1m^2$
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#### d/Perte fer
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modélisé par une résistance en parallèle avec le transformateur
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ATTENTION : c'est un modèle simplifié qui permet de modéliser la variation des pertes avec $V^2$.
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ATTENTION : $R_f$ dépend de la fréquence
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#### e/ Schéma à 50 Hz
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Schéma 46
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### 3/ Grandeurs Réduites
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**Grandeurs réduites** : se calculent à partir des grandeurs physiques (tension, courant, puissance, impédances) normaliséeq par rapport à des grandeurs de référence (généralement les valeurs nominales associées)
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$u_1=\frac{V_1}{V_{1ref}}$
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$u_2=\frac{V_2}{V_{2ref}}$
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$i_1=\frac{I_1}{I_{1ref}}$
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$i_2=\frac{I_2}{I_{2ref}}$
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$Z_{1ref}=\frac{V_{1ref}}{I_{1ref}}=\frac{(3)V_{1ref}^2}{S_{ref}}$
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$Z_{2ref}=\frac{V_{2ref}}{I_{2ref}}=\frac{(3)V_{2ref}^2}{S_{ref}}$
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$z_1=\frac{Z_1}{Z_{1ref}}$
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$z_2=\frac{Z_2}{Z_{2ref}}$
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$S_{ref}=(3)V_{1ref}I_{1ref}=(3)V_{2ref}I_{2ref}$
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$p=\frac{P}{S_{ref}}$
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$q=\frac{Q}{S_{ref}}$
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en général, on choisit pour un système avec un transformateur :
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$V_{1ref}=V_{1n}$
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$V_{2ref}=V_{2n}$
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$S_{ref}=S_n=(3)V_{1n}I_{1n}$
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$I_{1ref}=I_{1n}$
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$I_{2ref}=I_{2n}$
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**Schéma du modèle équivalent** : schéma 47
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Exemple : $V_{1n}=20kV$ si $V_1=19kV$, $u_1=0.95$
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$V_{1n}=400kV$ si $V_1=380kV$, $u_1=0.95$
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Les caractéristiques R et N$\omega$ d'un transformateur sont données en unité réduite :
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$z_{cc}=\sqrt{r^2+(n\omega)^2}$ % par unit p.u.
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impédance de court circut si on souhaite obtenir $Z_1$,
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$Z_1=\sqrt{R^2+(N_1\omega)^2}=z_{cc}Z_{1ref}=z_{cc}\frac{V_{1n}^2}{S_n}$
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ou $Z_2=\sqrt{R^2+(N_2\omega)^2}=z_{cc}Z_{2ref}$
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**impédance de court-circuit** : $z_{cc}$ est la valeur d'impédance alimenté par la source lorsque le IIaire est en court-circuit.
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$z_{cc}\sim$ de 4 à 15%
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## II/ Fonctionnement
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### 1/ Essais
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#### a/ Essai à vide
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IIaire en circuit ouvert Donc $I_2$=0
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Iaire alimenté sous $V_n$
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mesure de $I_{1, 0}, P_0$, puis calcul de $S_0$ et de $Q_0$.
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$P_0=\frac{V_1^2}{R_f}$
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$Q_0=\sqrt{S_0^2-P_0^2}=\frac{V_{1n}^2}{L_m\omega}$
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On détermine $L_m\omega$ et $R_f$
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mesure de $V_2\Rightarrow$ Rapport de transformation
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#### b/ Essai en court-circuit
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*Court-circuit de IIaire*
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ATTENTION si $V_{1cc}=V_{1n}$
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$I_{1cc}=\frac{V_{1cc}}{Z_1}$
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avec $Z_1=\sqrt{R^2+(N_1\omega)^2}=z_{cc}\frac{V_{1n}^2}{S_n}$
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$I_{1cc}=\frac{V_{1cc}S_n}{z_{cc}V_{1n}^2}=\frac{S_n}{V_{1n}z_{cc}}=\frac{I_{1n}}{z_{cc}}$
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Donc $S_{1cc}\sim10I_{1n}$
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l'essai en CC se fait sous tension réduite
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si on veut $I_{1cc}=I_{1n}$
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$I_{1cc}=\frac{V_{1cc}}{z_{cc}\frac{V_{1n}}{I_{1n}}}$
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Donc $V_{1cc}=z_{cc}V_{1n}$
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En pratique, on fait croitre $V_1$ de 0 jusqu'à la valeur $V_1=V_{1cc}$ pour laquelle $I_{1cc}=I_{1n}$ ou $I_{2cc}=I_{2n}$, on en déduit $z_{cc}$
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Une mesure des puissance P et Q et du courant permet de déterminer R et N$\omega$.
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$P_{cc}=(3)R_1I_1^2+\frac{V_{1cc}^2}{R_f}$
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$\frac{V_{1cc}^2}{R_f}$ sont les pertes fer négligeables car $V_{1cc}$ = 10% de $V_{1n}$
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$Q_{cc}=(3)N_1\omega I_1^2=(3)N_2\omega I_2^2$
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R et N$\omega$
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### 2/ En charge
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en charge sur impédance $\underline{Z}$
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#### a/ Relation de Kapp
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Schéma 48
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Approximation Kapp :
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le module de RI+jXI est faible par rapport à celui de $V_2$ et l'angle $\delta$ est donc lui aussi très faible.
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$\delta\sim 0\Rightarrow sin\delta\sim\delta$ et $cos \delta \sim 1$
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En projettant horizontalement :
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$mV_1cos\delta=$XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
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#### b/ Tension de sortie en fonction de la nature de la charge
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* charge R $\phi$=0, $mV_1>V_2$ où $mV_1$ est la tension à vide du 2e transfo
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
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Ex : si tan $\phi$ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx
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#### c/ Rendement
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$r=\frac{Puissance\-active\-délivrée}{Puissance\-active\-reçue}=\frac{P_2}{P_1}=\frac{(3)V_2I_2cos\phi_2}{(3)V_1I_1cos\phi_1}=\frac{(3)V_2I_2cos\phi_2}{(3)V_2I_2cos\phi_2+(3)R_2I2^2+(3)\frac{V_1^2}{R_F}}$
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r vaut 98%, 99% au point de fonctionnement nominal mais pertes à vide non négligeables ($\frac{V_1^2}{R_f}\sim RI_{2n}^2$, en p.u. $1/r_f\sim r$)
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## III/ Transformateur triphasé
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### 1/ structure
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- 3 transfo mono
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- transfo triphasé
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transfo à 4 ou 5 colonnes : Schéma 50
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$V_a(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)=n_a\frac{d\Phi_a}{dt}$
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$V_b(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-2\pi/3)=n_b\frac{d\Phi_b}{dt}$
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$V_c(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-4\pi/3)=n_c\frac{d\Phi_c}{dt}$
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par intégration autour d'une valeur moyenne de flux nulle
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$\phi_a(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_a\omega}sin(\omega t)$
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$\phi_b(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_b\omega}sin(\omega t-2\pi/3)$
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$\phi_c(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_c\omega}sin(\omega t-4\pi/3)$
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si $n_a=n_b=n_c$
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{$\phi_a(t), \phi_b(t), \phi_c(t)$} est un système triphasé
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$\phi_a(t)+\phi_b(t)+\phi_c(t)=0$
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Seules les 3 colones autour desquelles sont bobinés les enroulenements sont parcourus par du flux.
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Transformateur à 3 colonnes : Schéma 51
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### 2/ Couplage
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#### a/ Couplage YY
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$m=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\underline{V_2}}{\underline{V_1}}=\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}}$
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#### b/ Couplage $\Delta\Delta$
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Schéma 52
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$m=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\underline{V_2}}{\underline{V_1}}=\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}}$
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#### c/ Couplage $\Delta Y_n$
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n pour présence de neutre
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ex : transfo de distribution HTA/BT 20kV/400V
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Schéma 53
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$\frac{\underline{V_{2a}}}{\underline{U_{1ab}}}=\frac{n_2}{n_1}$
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$U_{1ab}=\underline{V_{1a}}-\underline{V_{1b}}=\sqrt{3}V_{1a}e^{+j\frac{\pi}{6}}$
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$m=\frac{\underline{V_{2a}}}{\underline{V_{1a}}}=\frac{\underline{V_{2a}}\underline{U_{1ab}}}{\underline{V_{1a}}\underline{U_{1ab}}}=\frac{n_2}{n_1}\sqrt{3}e^{+j\frac{\pi}{6}}$
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### 3/ Puissance
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Système équilibré
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$P=\sqrt{3}UIcos\phi=3VIcos\phi$
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$Q=\sqrt{3}UIsin\phi=3VIsin\phi$
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$S=\sqrt{3}UI=\sqrt{P^2+Q^2}$
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On dimensionne un transfo tri pour $S_n$ triphasé et une tension entre phase : $S_n=\sqrt{3}U_nI_n$
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\newpage
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# Chapitre 5 : Conversion életromécanique
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## I/ Energie d'un système électromécanique
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Schéma 54
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### 1/ Bilan d'energie
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Schéma 55
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Pertes Joule, fer sont modélisées en dehors du système.
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La puissance éléctrique est fournie par l'enroulement.
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$dW_{elec}=\sum_iv_u(t)i_i(t)dt$
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$dW_{elec}=dW_{méca}+dW_{mag}$
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$dW_{méca}=Cd\theta$ en rotation
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$dW_{méca}=Fdx$ en translation
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$v_1(t)=\frac{d\Phi_i}{dt}$
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$dW_{elec}=\sum_ii_id\Phi_i=Cd\theta+dW_{mag}=Fdx+dW_{mag}$
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### 2/ Calcul de l'énergie magnétique
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en négligeant l'hystérisis,
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l'énergie magnétique du système dépend de son état :
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- mécanique : position des axes \theta, x
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- magnétique : B et H, ou $\Phi$ et $i_i$
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On peut exprimer l'énergie magnétique emmagasinée par le système, en considérant son évolution depuis un état démagnétisé à $i_i=0$ et en bloquant les pièces en mouvement.
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$dW_{mag}=dW_{elec}=\sum_i\i_i\Phi_i$
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$W_{mag}=\sum_i\int_0^{\Phi_i}i_id\Phi_i$ à $\theta$ constant
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### 3/ Cas d'un système linéaire
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$\Phi_i=\sum_jM_{ij}i_j$
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$M_{ij}$ : inductance mutuelle entre (i) et (j) si i$\neq$j
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$M_{ii}=L_i$ : inductance propre de l'enroulement
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$dW_{mag}=\sum_ii_id\Phi_i=\sum_ii_i\sum_jm_{ij}di_j$
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$d\Phi_i=d(\sum_j m_{ij}i_j=\sum_j i_jdm_{ij}+\sum_j m_{ij}di_j$
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axes bloqués $dm_{ij}=0$
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$dW_mag=\sum_i\sum_jm_{ij}i_i=\sum_jd_{ij}\sum_im_{ij}i_i$
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Or m_{ij}=m_{ji}
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$dW_mag=\sum_jdi_j\sum_im_{ji}i_i$
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Or $\sum_im_{ji}i_i=\Phi_j$
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$dW_{mag}=\sum_j\theta_jdi_j$
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De plus, $d(\sum_i\theta_idi_i)=\sum_i\Phi_idi_i+\sum_ii_id\Phi_i$
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Avec $dW_{mag}=\sum_ii_id\Phi_i=\sum\Phi_idi_i$
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$dW_{mag}=\frac{1}{2}d(\sum_i\Phi_ii_i)$
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$W_{mag}=\intdW_{mag}=\frac{1}{2}\sum_i\Phi_ii_i$
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$\Phi_i=\sum_jm_{ij}i_j$
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**$W_{mag}=\frac{1}{2}\sum_il_ii_i^2+\sum_{i>j}m_{ij}i_ii_j$**
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Schéma 56
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### 4/ Expression par le schéma équivalent
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Energie magnétique contenue dans un élément de tube de section $\delta S$ et de longueur $\delta l$
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$W=\int_{Volume} (\int_0^BHdB)\delta l\delta S$=\int_{Volume}\int_0^BHdld(B\delta S)
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la f.m.m $Hdl=\Re\phi$
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$\Re=\frac{\delta l}{\mu\delta S}$
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$W=\int_{Tubes}\int_0^{\phi}\Re_{\phi}d\phi$ sur un nombre discret de tubes,
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**$W=\sum_{Tubes j}\frac{1}{2}\Re_j\phi_j^2$**
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### 5/ Coénergie
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On définit la coénergie pour exprimer l'état énergétique du système en fonction des variations de courant à flux constant.
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Bilan de puissance :
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$\sum_ii_id\Phi_i=dW_{mag}+Cd\theta$
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$\sum_ii_id\phi_i=\sum_id(i_i\Phi_i)-\sum_i\Phi_idi_i$
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$\sum_id(i_i\Phi_i)-dW_{mag}=\sum_i\Phi_idi_+Cd\theta=dW_{mag}^'$
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On définit **$W_{mag}^'=sum_ii_i\Phi_i-W_{mag}$** ** Coénergie du système magnétique
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cas de système linéaire
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$W_{mag}=\frac{1}{2}\sum_i\phi_ii_i\RightarrowW_{mag}=W_{mag}^'$
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### 6/ Expression local de la coénergie
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$w=\int_0^BHdB$
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$w^'=\int_0^HBdH$
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$W^'=\int_{vol}w^'dv$
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Schéma 57
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