plop
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6a908c49de
8 changed files with 369 additions and 10 deletions
226
.gitignore
vendored
226
.gitignore
vendored
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@ -1,6 +1,232 @@
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# Created by https://www.gitignore.io/api/vim,python
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### LaTeX ###
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## Core latex/pdflatex auxiliary files:
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*.aux
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*.lof
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*.log
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*.lot
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*.fls
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*.out
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*.toc
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*.fmt
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*.fot
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*.cb
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*.cb2
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## Intermediate documents:
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*.dvi
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*.xdv
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*-converted-to.*
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# these rules might exclude image files for figures etc.
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# *.ps
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# *.eps
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# *.pdf
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## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:"
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.pdf
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## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber):
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*.bbl
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*.bcf
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*.blg
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*-blx.aux
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*-blx.bib
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*.run.xml
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## Build tool auxiliary files:
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*.fdb_latexmk
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*.synctex
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*.synctex(busy)
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*.synctex.gz
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*.synctex.gz(busy)
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*.pdfsync
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*Notes.bib
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## Auxiliary and intermediate files from other packages:
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# algorithms
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*.alg
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*.loa
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# achemso
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acs-*.bib
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# amsthm
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*.thm
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# beamer
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*.nav
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*.pre
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*.snm
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*.vrb
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# changes
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*.soc
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# cprotect
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*.cpt
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# elsarticle (documentclass of Elsevier journals)
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*.spl
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# endnotes
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*.ent
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# fixme
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*.lox
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# feynmf/feynmp
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*.mf
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*.mp
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*.t[1-9]
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*.t[1-9][0-9]
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*.tfm
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#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar
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*.end
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*.?end
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*.[1-9]
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*.[1-9][0-9]
|
||||
*.[1-9][0-9][0-9]
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*.[1-9]R
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*.[1-9][0-9]R
|
||||
*.[1-9][0-9][0-9]R
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*.eledsec[1-9]
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||||
*.eledsec[1-9]R
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||||
*.eledsec[1-9][0-9]
|
||||
*.eledsec[1-9][0-9]R
|
||||
*.eledsec[1-9][0-9][0-9]
|
||||
*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R
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# glossaries
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*.acn
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*.acr
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*.glg
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*.glo
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*.gls
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*.glsdefs
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# gnuplottex
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*-gnuplottex-*
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# gregoriotex
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*.gaux
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*.gtex
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# hyperref
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*.brf
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# knitr
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*-concordance.tex
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# TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files
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*.tikz
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*-tikzDictionary
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# listings
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*.lol
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# makeidx
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*.idx
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*.ilg
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*.ind
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*.ist
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# minitoc
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*.maf
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*.mlf
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*.mlt
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*.mtc[0-9]*
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*.slf[0-9]*
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*.slt[0-9]*
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*.stc[0-9]*
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# minted
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_minted*
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*.pyg
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# morewrites
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*.mw
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# nomencl
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*.nlo
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# pax
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*.pax
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# pdfpcnotes
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*.pdfpc
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# sagetex
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*.sagetex.sage
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*.sagetex.py
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*.sagetex.scmd
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# scrwfile
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*.wrt
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# sympy
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*.sout
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*.sympy
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sympy-plots-for-*.tex/
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# pdfcomment
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*.upa
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*.upb
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# pythontex
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*.pytxcode
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pythontex-files-*/
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# thmtools
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*.loe
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# TikZ & PGF
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*.dpth
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*.md5
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*.auxlock
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# todonotes
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*.tdo
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# easy-todo
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*.lod
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# xindy
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*.xdy
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# xypic precompiled matrices
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*.xyc
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# endfloat
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*.ttt
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*.fff
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# Latexian
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TSWLatexianTemp*
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## Editors:
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# WinEdt
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*.bak
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*.sav
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# Texpad
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.texpadtmp
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# Kile
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*.backup
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# KBibTeX
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*~[0-9]*
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# auto folder when using emacs and auctex
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/auto/*
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# expex forward references with \gathertags
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*-tags.tex
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### Python ###
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# Byte-compiled / optimized / DLL files
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__pycache__/
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@ -21,6 +21,7 @@
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\RequirePackage{listings}
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\RequirePackage{graphicx}
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||||
\RequirePackage{amsfonts}
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||||
\RequirePackage{amsmath}
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@ -1,23 +1,43 @@
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\relax
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\catcode `:\active
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||||
\catcode `;\active
|
||||
\catcode `!\active
|
||||
\catcode `?\active
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||||
\select@language{french}
|
||||
\@writefile{toc}{\select@language{french}}
|
||||
\@writefile{lof}{\select@language{french}}
|
||||
\@writefile{lot}{\select@language{french}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Différentes positions possible de points par rapport à $A$ et $B$\relax }}{3}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Diff\IeC {\'e}rentes positions possible de points par rapport \IeC {\`a} $A$ et $B$\relax }}{3}}
|
||||
\providecommand*\caption@xref[2]{\@setref\relax\@undefined{#1}}
|
||||
\newlabel{fig:positionsC}{{1}{3}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {part}{I\hspace {1em}Objectifs de ce TL}{3}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {part}{II\hspace {1em}Génération de carte routière réaliste}{3}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {part}{II\hspace {1em}G\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de carte routi\IeC {\`e}re r\IeC {\'e}aliste}{3}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Condition pour un graphe de Gabriel}{3}}
|
||||
\newlabel{eq:condArete}{{1}{3}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve :}{3}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Mise en pratique : graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Création de graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Cr\IeC {\'e}ation de graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Graphe de gabriel\relax }}{4}}
|
||||
\newlabel{fig:2_4_gabriel}{{2}{4}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Graphe de voisinage realtif\relax }}{5}}
|
||||
\newlabel{fig:2_4_gvr}{{3}{5}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces R\IeC {\'e}seau g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}r\IeC {\'e}\relax }}{6}}
|
||||
\newlabel{fig:2_5}{{4}{6}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}G\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration d'un r\IeC {\'e}seau}{6}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.3}Temps de g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration d'un r\IeC {\'e}seau}{6}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Triangulation de Delaunay}{6}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Pratique}{6}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Aspect théorique}{6}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {part}{III\hspace {1em}Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}{6}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Aspect th\IeC {\'e}orique}{6}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.1}Condition pour un graphe de Delaunay}{6}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve:}{6}}
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Cas o\IeC {\`u} le graphe de Delaunay n'est pas planaire.\relax }}{7}}
|
||||
\newlabel{fig:delaunayPasPlanaire}{{5}{7}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.2}Le graphe de Delaunay est planaire}{7}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve}{7}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.3}Le graphe de Delaunay est une triangulation}{7}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve}{7}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Maille polygonale.\relax }}{8}}
|
||||
\newlabel{fig:maillePolygonale}{{6}{8}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.4}Condition sur les faces}{8}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve}{8}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {part}{III\hspace {1em}Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}{8}}
|
||||
|
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|||
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|
@ -1,4 +1,7 @@
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|||
\select@language {french}
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||||
\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Différentes positions possible de points par rapport à $A$ et $B$\relax }}{3}
|
||||
\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Diff\IeC {\'e}rentes positions possible de points par rapport \IeC {\`a} $A$ et $B$\relax }}{3}
|
||||
\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Graphe de gabriel\relax }}{4}
|
||||
\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Graphe de voisinage realtif\relax }}{5}
|
||||
\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces R\IeC {\'e}seau g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}r\IeC {\'e}\relax }}{6}
|
||||
\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Cas o\IeC {\`u} le graphe de Delaunay n'est pas planaire.\relax }}{7}
|
||||
\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Maille polygonale.\relax }}{8}
|
||||
|
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|||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
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|
@ -91,6 +91,13 @@ En combinant la génération de graphe de Gabriel et de voisinage relatif, on pe
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|||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\subsection{Temps de génération d'un réseau}
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||||
La figure \ref{fig:reseaunaiflog} montre le temps nécessaire à la création d'un réseau.
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||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{images/reseau_naif_log}
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||||
\caption{}
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||||
\label{fig:reseaunaiflog}
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||||
\end{figure}
|
||||
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@ -98,6 +105,98 @@ En combinant la génération de graphe de Gabriel et de voisinage relatif, on pe
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|||
\subsection{Pratique}
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||||
\subsection{Aspect théorique}
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||||
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||||
\subsubsection{Condition pour un graphe de Delaunay}
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||||
Pour toute paire $\{A,B\}$ de points de $\mathcal{V}$, si on appelle $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ les deux demis plans fermés de frontière $(A,B)$ privés de $A$ et $B$, alors $\{A,B\}$ est une arête de la triangulation de Delaunay sit et seulement si
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||||
\[
|
||||
\forall C\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} + \widehat{ADB} \leq \pi
|
||||
\]
|
||||
\paragraph{preuve:}
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||||
Supposons que $\{A,B\}$ soit une arête. Il existe donc un cercle $\mathcal{C}$ d'intérieur vide avec $A$ et $B$ sur le cercle. Cela correspond aux lignes $\mathcal{L}(\theta, A, B)$ et $\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B)$. Quitte à renommer $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$, on peut supposer que le premier contour correspond à $\mathcal{P}$. On a donc :
|
||||
\begin{align}
|
||||
\forall C \in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} < \theta \\
|
||||
\forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ADB} < \theta - \pi
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Ainsi :
|
||||
\[
|
||||
\forall C\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} + \widehat{ADB} \leq \pi
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Supposons maintenant que :
|
||||
\[
|
||||
\forall C\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} + \widehat{ADB} \leq \pi
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Posons :
|
||||
\begin{align}
|
||||
m_p &= \max_{C\in \mathcal{P}\cap\mathcal{V}} \widehat{ACB} \\
|
||||
m_{p'} &= \max_{D\in \mathcal{P}'\cap\mathcal{V}} \widehat{ADB}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
On a donc
|
||||
\[
|
||||
m_p + m_{p'} \leq \pi
|
||||
\]
|
||||
|
||||
D'après le théorème de l'ange inscrit, si on pose $\theta = \max \{m_p, m_{p'}\}$, les contours $\mathcal{L}(\theta, A, B) \cap \mathcal{P}$ et $\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B) \cap \mathcal{P}'$ forment un cercle d'intérieur vide avec $A$ et $B$ sur le cercle.
|
||||
$\Box$
|
||||
|
||||
\subsubsection{Le graphe de Delaunay est planaire}
|
||||
On remarque qu'il existe des configurations pour lesquelles cette assertion est fausse, par exemple la figure \ref{fig:delaunayPasPlanaire}. On va donc supposer que les configurations défavorables (4 points sur un cercle) ont une probabilité nulle d'être rencontrées.
|
||||
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||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw (2,2) circle (2*1.41);
|
||||
\draw[dashed] (0,0) node [anchor=north east](A){A} (0,0) -- (4,0) node[anchor=north west](C){C}
|
||||
-- (4,4) node[anchor=south west](B){B} -- (0,4) node[anchor=south east](D){D} -- (0,0);
|
||||
\draw (0,0) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (4,4) node[circle, draw=black, fill=white]{}; \draw(0,4) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (4,0) node[circle, draw=black, fill=white]{};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Cas où le graphe de Delaunay n'est pas planaire.}
|
||||
\label{fig:delaunayPasPlanaire}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\paragraph{preuve} Si l'on suppose qu'il existe deux arêtes $\{A,B\}$ et $\{C,D\}$ qui se croisent, on a alors $\widehat{ADB} + \widehat{ACB} < \pi$ et $\widehat{DBC} + \widehat{DAC} < \pi$. Or $ABCD$ est un quadrilatère, donc $\widehat{ADB} + \widehat{ACB} + \widehat{DBC} + \widehat{DAC} = 2 \pi$, contradiction. $\Box$
|
||||
|
||||
\subsubsection{Le graphe de Delaunay est une triangulation}
|
||||
Montrons que le graphe de Delaunay est une triangulation.
|
||||
|
||||
\paragraph{preuve} Supposons qu'il existe une face polygonale à plus de 3 côtés dans le graphe de Delaunay. On choisit quatre points $A,B,C,D$ de cette faces tels que $\{A,C\}$ et $\{B,D\}$ peuvent être des arêtes, mais pas $\{A,B\}$ et $\{C,D\}$. On a par exemple une maille semblable à la figure \ref{fig:maillePolygonale}.
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\draw (0,0) node[anchor=north east]{A} node[circle, draw=black, fill=black]{} -- (1,3) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (3,5) node[circle, draw=black, fill=black]{} node[anchor=south west]{D} -- (4,4) node[circle, draw=black, fill=black]{} node[anchor=south west]{B} -- (5,2) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (3,1)node[circle, draw=black, fill=black]{} node[anchor=north west]{C} -- (0,0);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Maille polygonale.}
|
||||
\label{fig:maillePolygonale}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
On a alors :
|
||||
\begin{eqnarray}
|
||||
\widehat{ACB} + \widehat{ADB} > \pi \\
|
||||
\widehat{CAD} + \widehat{CBD} > \pi \\
|
||||
\end{eqnarray}
|
||||
Puisque $ACDB$ est un quadrilatère, la somme de ses angles devrait être de $2\pi$, ce qui est absurde ici. $\Box$
|
||||
|
||||
\subsubsection{Condition sur les faces}
|
||||
Montrons tout triplet $\{A,B,C\} \subseteq \mathcal{V}$ est une face de la triangulation si et seulement si le disque du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est vide de tout point de $\mathcal{V}$ autre que $A,B,C$.
|
||||
\paragraph{preuve}
|
||||
Supposons que le disque du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit à $ABC$ soit vide de tout point. On va montrer que l'arête ${A,B}$ existe. On pose $\theta = \widehat{ACB}$. On a alors $\mathcal{C} = (\mathcal{L}(\theta, A, B) \cap \mathcal{P}) \cup (\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B)\cap \mathcal{P}')$. Puisque le disque est vide,
|
||||
\[
|
||||
\forall D \in \mathcal{P}'\cap\mathcal{V}, \widehat{ADB} < \pi - \theta
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Donc, puisque $C$ est le point de plus grand angle sur $\mathcal{P}$ :
|
||||
\[
|
||||
\forall E\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{AEB} + \widehat{ADB} \leq \pi
|
||||
\]
|
||||
Donc l'arête $\{A,B\}$ existe. On montre de la même façon que $\{A,C\}$ et $\{C,B\}$ existent.
|
||||
|
||||
Supposons que $\{A,B,C\}$ soit une face de la triangulation. En particulier, $C$ est alors le point de plus grand angle $\widehat{ACB} = \theta$ sur $\mathcal{P}$. Puisque $\{A,B\}$ est une arête, d'après le lemme, tout point $D\in\mathcal{P}'\cap\mathcal{V}$ est d'angle $\widehat{ADB}$ plus petit que $\pi - \theta$. Donc un tel point $D$ ne peut être dans le disque délimité par $(\mathcal{L}(\theta, A, B) \cap \mathcal{P}) \cup (\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B)\cap \mathcal{P}')$. $\square$
|
||||
|
||||
|
||||
\part{Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}
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||||
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||||
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||||
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@ -1,11 +1,21 @@
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\select@language {french}
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\contentsline {part}{I\hspace {1em}Objectifs de ce TL}{3}
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\contentsline {part}{II\hspace {1em}Génération de carte routière réaliste}{3}
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\contentsline {part}{II\hspace {1em}G\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de carte routi\IeC {\`e}re r\IeC {\'e}aliste}{3}
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\contentsline {section}{\numberline {1}Condition pour un graphe de Gabriel}{3}
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\contentsline {paragraph}{preuve :}{3}
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\contentsline {section}{\numberline {2}Mise en pratique : graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}
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\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Création de graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}
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\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Cr\IeC {\'e}ation de graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}
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\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}G\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration d'un r\IeC {\'e}seau}{6}
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\contentsline {subsection}{\numberline {2.3}Temps de g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration d'un r\IeC {\'e}seau}{6}
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\contentsline {section}{\numberline {3}Triangulation de Delaunay}{6}
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\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Pratique}{6}
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\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Aspect théorique}{6}
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\contentsline {part}{III\hspace {1em}Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}{6}
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\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Aspect th\IeC {\'e}orique}{6}
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\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.1}Condition pour un graphe de Delaunay}{6}
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\contentsline {paragraph}{preuve:}{6}
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\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.2}Le graphe de Delaunay est planaire}{7}
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\contentsline {paragraph}{preuve}{7}
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\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.3}Le graphe de Delaunay est une triangulation}{7}
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\contentsline {paragraph}{preuve}{7}
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\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.4}Condition sur les faces}{8}
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\contentsline {paragraph}{preuve}{8}
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\contentsline {part}{III\hspace {1em}Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}{8}
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