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\part{Généralités sur les noyaux -- Radioactivité}
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\section{Introduction}
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\subsection{L'énergie de la matière}
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Matière solide : énergie \og gelée \fg{} car $E = m c ^{2}$
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Dans 1 kg de matière on a $E$ = 900 milliards de milliards de Joules.
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C'est l'équivalent de la consommation totale d'énergie en France pendant trois jours.
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\paragraph{}
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{\small
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\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
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Domaine & Chimie & Physique nucléaire & Physique des hautes énergies \\
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\hline
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Ordre de grandeur & $\approx eV$ & $\approx MeV$ & $\approx GeV$ \\
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\hline
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Liaisons concernées & électrons-noyaux &protons-neutrons & entre quarks \\
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\hline
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\end{tabular}
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}
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\paragraph{}
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\begin{description}
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\item[Chimie :] brûler du pétrole, c'est casser les liaisons entre les molécules. L'énergie de liaison entre molécules est libérée. Le défaut de masse est très faible et représente $\approx 10^{-7} \%$ de la masse de la molécule.
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\item[Physique nucléaire : ] énergie de liaison entre protons et neutrons. L'énergie récupérée représente à peu près 1\% de la masse du noyau.
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10 millions de fois plus que pour la simple combustion.
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\end{description}
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\paragraph{Physique des hautes énergies : liaisons entre quarks}
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\begin{description}
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\item[Quark up (u) :]$\frac{2}{3}$ e
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\item[Quark down (d) :] $-\frac{1}{3}$ e
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\item[Neutron :] udd
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\item[Proton :] uud
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\end{description}
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\subsection{Interactions élémentaires}
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Les forces qui lient entre elles les particules sont appelées les \emph{interactions élémentaires}. Elles sont au nombre de quatre :
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\begin{description}
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\item[interaction gravitationnelle :] en $\frac{1}{r^{2}}$, portée infinie. Une particule élémentaire interviendrait : le graviton, qui serait le vecteur de l'information, et qui aurait une masse proche de 0, sans charge (indétectable ?).
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\item[interaction électromagnétique :] de portée infinie (phénomènes chimiques, électriques...) Son vecteur est le photon, de masse nulle.
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\item[interaction faible :] de courte portée, elle est peu observable au quotidien, étrangère à nos sens.
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Elle explique pourquoi un neutron peut se transformer en proton (radioactivité $\beta ^{-}$).
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Ses vecteurs sont les bosons (lourds).
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\item[interaction forte :] lien entre les protons et les neutrons dans le noyau. Sa portée est très courte ($\approx 10^{-15}$ m).
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Ses vecteurs sont les mésons ($\approx 300 \times m_{e^{-}}$).
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\end{description}
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\section{Structure du noyau -- Dimension}
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\subsection{Structure de l'atome}
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\subsubsection{Description}
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L'atome est caractérisé par le symbole chimique $X$, il contient $Z$ électrons, $Z$ variant de 1 à 92 dans la nature.
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Ce sont les $Z$ électrons qui donnent à l'atome ses propriétés chimiques.
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\begin{description}
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\item[Taille]
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$\approx 10^{-10}$ m
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\item[Masse de l'électron]
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$m_{e^{-}} = 9,1.10^{-31}$ kg
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\item[Taille du noyau]
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$10^{-15}$ à $10^{-14}$ m
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\item[Densité dun noyau]
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$\approx$ 100 000 fois celle de l'atome.
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\end{description}
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\subsubsection{Nucléons}
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\paragraph{Protons}
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Dans un noyau, il y a $Z$ protons (l'atome est électriquement neutre).
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Le proton a été mis en évidence par Blackett en 1926.
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$Z$ est appelé \emph{numéro atomique}.
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\paragraph{Neutrons}
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Il y a aussi dans un atome $N$ neutrons.
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Le nombre $A = Z + N$ est appelé le \emph{nombre de masse}.
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Neutrons et protons sont appeles les \emph{nucléons}.
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Représentation : $ \n{X}{A}{Z} $.
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\paragraph{Remarques}
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\begin{itemize}
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\item
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Écrire $Z$ est souvent superflu car l'information se retrouve dans $X$.
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\item
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En dehors du noyau, le proton a une durée de vie infinie.
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\item
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En dehors du noyau, le neutron a une durée de vie de 12 minutes.
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\end{itemize}
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\subsection{Isotopes}
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\paragraph{}
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Si on a le même $Z$ et des $A$ différents, il s'agit d'\emph{isotopes}
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qui ont les mêmes propriétés chimiques mais des propriétés nucléaires différentes.
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\paragraph{Exemple}
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\begin{itemize}
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\item
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$\n{H}{1}{1}$ : un proton, aucun neutron : l'Hydrgène
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\item
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$\n{H}{2}{1}$ : un proton, un neutron : le Deutérium
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\item
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$\n{H}{3}{1}$ : un proton, deux neutrons : le Tritium (instable)
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\end{itemize}
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\subsection{Unités}
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\subsubsection{Unité de masse atomique}
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\paragraph{}
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La valeur des masses est petite. On utilise l'unité de masse atomique (u ou uma).
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1 u = $\frac{1}{12}$ de la masse d'un atome de Carbone 12.
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D'où 1 u = 1,660'538'782.$10^{-27}$ kg
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\subsubsection{Électron-Volt}
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\paragraph{}
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Calculons l'énergie associée à cette masse :
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$E= 1,66.10^{-27} \times (3.10^{8})^{2} = 1,492.10^{-10}$ J = 931,5 MeV.
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On exprime souvent les masses en MeV (abus de langage, en fait, $\frac{MeV}{c^{2}}$).
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On a :
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1 u = 931,5 $MeV/c^2$.
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\paragraph{Exemples}
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\begin{itemize}
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\item
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$m_{e} =$ 0,000'548'58 u = 0,511 $MeV/c^{2}$
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\item
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$m_{p}$ = 1,007'276 u = 938,272 3 $MeV/c^{2}$
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\item
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$m_{n}$ = 1,000'866 5 u = 939,565 6 $MeV/c^{2}$
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\end{itemize}
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\subsection{Volume et masse}
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\begin{itemize}
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\item
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La masse du neutron $m_{n}$ est légèrement supérieure à celle du proton.
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\item
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Un neutron $n$ va pouvoir se désintégrer en un proton + $e^{-}$ + ...
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La différence de masse est 2,53 fois celle de l'$e^{-}$ : radioactivité $\beta^{-}$.
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\end{itemize}
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\paragraph{Volume}
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En première approximation, le noyau est sphérique. Soit $R_{0}$ le rayon du proton :
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$V_{0} \approx \frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} $.
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Pour les autres noyaux, le volume est proportionnel au nombre de masse $A$.
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$ V = \frac{4}{3} \pi R ^{3} = A V_{0} = A \frac{4}{3} \pi R_{0} ^{3} $
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D'où
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$$ R \approx A^{\frac{1}{3}} R_{0} $$
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où 1,07 fm $< R_{0} < $ 1,5 fm.
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\paragraph{Masse volumique}
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$$ \rho \approx \frac{ M_{n \textrm{ ou } p} }{\frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} } $$
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La masse volumique est constante pour tous les noyaux : on a
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$ \rho \approx 10^{17} kg/m^{3}$.
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\subsection{Énergie de liaison}
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\subsubsection{Définition}
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L'énergie de liaison est le \og ciment \fg{} des nucléons à l'intérieur du noyau.
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Soit M(A,Z) la masse du noyau $\n{X}{A}{Z} $.
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En notant $m_{p}$ et $m_{n}$ masses dun proton et du neutron libres, on a :
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$$ M(A,Z) < Z m_{p} + (A-Z)m_{n} $$
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La différence de masse se retrouve alors dans l'énergie de liaison.
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\subsubsection{Défaut de masse et énergie de liaison}
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On définit le \emph{défaut de masse} par :
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$$\D M(A,Z) = Z m_{p} + (A-Z)m_{n} - M(A,Z) $$
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Alors, l'\emph{énergie de liaison} du noyau s'écrit :
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$$E_{l}(A,Z) = \D M(A,Z) c^{2} = [ Z m_{p} + (A-Z)m_{n} - M(A,Z) ] c^{2} $$
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\paragraph{Exemple : le deutérium $_{2}^{1}H$}
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M(2,1) = 2,013553 u
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$m_{p} + m_{n} =$ 2,015941 u
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$\D M(2,1)$ = 0,002388 u = 2,22 $\frac{MeV}{c^{2}}$
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$E_{l}(2,1) = \D M(2,1) c^{2} =$ 2,22 MeV
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\subsection{Rapport El/A}
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Plus il y a de nucléons, plus l'énergie de liaison est importante. Par exemple, celle de l'uranium 238 est de 1801,2 MeV.
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On voit donc que l'énergie de liaison $E_{l}$ n'est pas un bon indicateur de la force de liaison des nucléons.
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Le rapport $ \frac{ E_{l}(A,Z) }{A} $ est un meilleur indicateur : plus ce rapport est grand, plus la liaison a une énergie importante.
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\paragraph{}
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\begin{tabular}{|c|c|}
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\hline
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Noyau & $E_{l}/A$ (Mev/nucl) \\
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\hline
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\hline
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$\n{H}{2}{1}$ & 1,11 \\
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\hline
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$\He$ & 7,08 \\
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\hline
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$\n{U}{238}{92}$ &7,57 \\
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\hline
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\end{tabular}
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% « Binding energy curve - common isotopes FR » par Binding energy curve - common isotopes.svg : Fastfission, JWB et AutiwaDerivative Work : Eric Bajart — Binding energy curve - common isotopes.svg. Sous licence Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binding_energy_curve_-_common_isotopes_FR.svg#mediaviewer/File:Binding_energy_curve_-_common_isotopes_FR.svg
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[width=10cm]{aston.eps}
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\caption{Énergie de liaison des noyaux naturels stables}
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\end{figure}
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\subsection{Atome}
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Soit $M_{at}(A,Z)$ la masse de l'atome $_{Z}^{A} X $.
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On a $$M_{at} < M(A,Z) + Z m_{e} $$
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On définit l'énergie de liaison de l'atome
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$$\epsilon_{l} = [ M(A,Z) + Z m_{e} - M_{at}(A,Z) ] c ^{2} $$
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Pour le deutérium,$\epsilon_{l}$ = 13,6 eV.
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On a $\frac{ \epsilon_{l} }{ E_{l} } = 6.10^{-6}$.
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De même, pour l'uranium : $\frac{ \epsilon_{l} }{ E_{l} } = 2,8.10^{-15}$
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L'énergie de liaison des électrons est très inférieure à celles des nucléons.
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\section{Radioactivité -- Modes de désintégration}
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\subsection{Stabilité}
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\subsubsection{Principes}
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Un noyau donné recherche l'état le plus stable. Il faut pour cela environ autant de neutrons que de protons, voire un peu plus de neutrons.
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Si il y a trop de neutrons, ils vont se transformer en protons, et inversement.
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\subsubsection{Exemples}
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\paragraph{}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
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\hline
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Élément & N & Z & stabilité & radioactivité \\
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\hline
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Hydrogène & 0 & 1 & stable & \\
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\hline
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Deutérium & 1 & 1 & stable & \\
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\hline
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Tritium &2 & 1 & instable & $\beta^{-}$ cf. \ref{b-} \\
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\hline
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Helium (particule $\n{\alpha}{4}{2}$) &2 &2 & stable& \\
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\hline
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Lithium & 4 & 3 & stable & \\
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\hline
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Lithium & 5 & 3 & instable & $\beta^{-}$ cf. \ref{b-} \\
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\hline
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Béryllium & 3 & 4 & instable & CE\footnotemark cf. \ref{ce} \\
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\hline
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Béryllium & 4 & 4 & instable & $\n{\alpha}{4}{2}$ cf. \ref{a} \\
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\hline
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Béryllium & 5 & 4 & stable & \\
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\hline
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Bore & 4 & 5 & instable & $\beta^{+} $ cf. \ref{b+} \\
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\hline
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\end{tabular}
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\footnotetext{Capture électronique}
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\subsection{Radioactivité $\beta^{-}$ }
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\label{b-}
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À cause d'un excès de neutrons, le tritium est radioactif. Un neutron va se transformer en proton :
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$$ \n{H}{3}{1} \ra \n{He}{3}{2} + \n{e^{-}}{0}{-1} + \aneu$$
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$\aneu$ : antineutrino, cf. \ref{am}.
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Il s'agit de radioactivité $\beta^{-}$ : il y a émission d'un $e^{-}$.
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\subsection{Capture Électronique}
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\label{ce}
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Dans le cas par exemple du $\n{Be}{7}{4}$, il y a désintégration par capture électronique (CE) :
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$$ \n{Be}{7}{4} + \n{e^{-}}{0}{-1} \ra ^{7}_{3}Li + \neu $$
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($\nu$ : neutrino)
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\subsubsection{Matière et Antimatière}
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Hypothèse actuelle : lors du Big Bang, matière et anti-matière étaient présents en quantité égales. À chaque particule de matière était associée une particule d'antimatière, de même masse mais de charge opposée.
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\paragraph{}
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\label{am}
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\begin{tabular}{|c|c|}
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\hline
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matière & antimatière \\
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\hline
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\hline
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proton & antiproton \\
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\hline
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électron $e^{-}$ & positron $e^{+}$ \\
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\hline
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photon & photon \\
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\hline
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graviton & graviton \\
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\hline
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neutrino $\nu$ & antineutrino $\overline{\nu}$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\paragraph{}
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Pourquoi cette rareté actuellement ? Non symétrie de l'Univers ? Cela fait l'objet de recherches.
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\subsection{Radioactivité $\alpha$}
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\label{a}
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Par exemple, dans le cas du Béryllium $\n{Be}{8}{4}$. Il y a émission d'un particule $\alpha$, autre nom de l'hélium 4 : $\He$.
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$$ \n{Be}{8}{4} \ra \He + \He $$
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\subsection{Radioactivité $\beta^{+}$}
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\label{b+}
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Le Bore $\n{B}{8}{5}$ est instable, émission d'un positron (même masse que l'électron, mais charge positive, cf. \ref{am}), et transformation d'un proton en un neutron :
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$$ \n{B}{8}{5} \ra \n{Be}{8}{4} + \n{e^{+}}{0}{1} + \neu$$
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Ensuite le $\n{Be}{8}{4}$ va se désintégrer (cf. \ref{a}).
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\subsection{Bilan}
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\begin{tabular}{c|c}
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\label{bilan}
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Radioactivité & Forme de la réaction \\
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\hline
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\\
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$\beta ^{-} $ : excès de neutrons &
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$ \n{X}{A}{Z} \ra \n{Y}{A}{Z+1} + \n{e^{-}}{0}{-1} + \aneu $ \\
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\\
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\hline
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$\beta ^{+}$ : excès de protons&
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$ \n{X}{A}{Z} \ra \n{Y}{A}{Z-1} + \n{e^{+}}{0}{1} + \neu $ \\
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\\
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\hline
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Capture électronique &
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$ \n{X}{A}{Z} + \n{e^{-}}{0}{-1} \ra \n{Y}{A}{Z-1} + \neu $ \\
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\\
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\hline
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\\
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$\alpha$ &
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$ \n{X}{A}{Z} \ra \n{Y}{A-4}{Z-2} + \He $ \\
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\\
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\end{tabular}
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\subsection{Désintégration $\alpha$ et énergie}
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\subsubsection{Énergie libérée}
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Elle est de :
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$$ Q = \left[ - M(4,2) - M(A-4,Z-2) + M(A,Z) \right] c ^{2} $$
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Pour que la désintégration puisse se faire naturellement, il faut que $Q > 0$.
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%Schéma de désintégration de l'$\n{U}{238}{92}$
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\subsubsection{Évaluation de l'énergie cinétique}
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Expérimentalement, l'énergie cinétique des particules $\n{\alpha}{4}{2}$, noté $T_{\alpha} = E_{c_{\alpha}}$ est comprise entre 2 MeV et 9 MeV.
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Ceci est faible devant l'énergie de masse des $\n{\alpha}{4}{2}$ : $E_{0} \approx$ 4 000 MeV.
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On peut donc utiliser :
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$$E_{c_{\alpha}} = \frac{1}{2} m_{\alpha} v_{\alpha}^{2} $$
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Si les particules $\n{\alpha}{4}{2}$ et $Y$ (cf. \ref{bilan}) sont dans leur état fondamental, alors :
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$$ Q =E_{c_{\alpha}} + E_{c_{Y}}$$
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De plus, on suppose $X$ au repos avant la désintégration.
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En appliquant la loi de conservation de la quantité de mouvement :
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$$ M_{Y} v_{Y} = M_{\alpha} v_{\alpha} $$
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$$ E_{c_{Y}} = Q - E_{c_{\alpha}} = Q - \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^{2} $$
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$$ E_{c_{Y}} = Q - \frac{1}{2} M_{\alpha} (\frac{M_{Y}}{M_{\alpha}})^{2} v_{Y}^{2}$$
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$$ E_{c_{Y}} = Q - \frac{1}{2} \frac{M_{Y}^{2}}{M_{\alpha}} v_{Y}^{2}$$
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$$E_{c_{Y}} = Q - \frac{M_{Y}}{M_{\alpha}} E_{c_{Y}}$$
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$$ E_{c_{Y}} = \frac{M_{Y}}{M_{\alpha} + M_{Y}} Q $$
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\paragraph{}
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Ainsi, si X est un noyau lourd, $M_{Y} \gg M_{\alpha} $ donc
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$E_{c_{Y}} \approx 0 $ et $Q \approx E_{c_{\alpha}} $.
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%figure3
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%observation d'une raie $\n{\alpha}{4}{2}$.
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[height=9cm]{stable.png}
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%« Isotopes and half-life ». Sous licence Public domain via Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Isotopes_and_half-life.PNG#mediaviewer/File:Isotopes_and_half-life.PNG
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\caption{\label{stable} Isotopes stables (en rouge)}
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\end{figure}
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Pour A grand, pour avoir un noyau stable, il faut que N soit légèrement supérieur à Z (cf. figure \ref{stable}).
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\subsection{Loi de décroissance}
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\subsubsection{Loi générale de désintégration}
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\paragraph{}
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À $t=0$, on considère $N_{0}$ noyaux radioactifs.
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Les noyaux se transforment, donc le nombre $N$ de noyaux diminue.
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On cherche à évaluer la variation $\deriv N$ de noyaux sur un temps très court $\deriv t$. On obtient :
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$$ \deriv N = - \lambda N \deriv t $$
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où $\lambda$ est la \emph{constante radioactive}, typique du noyau radioactif considéré, d'unité la $s^{-1}$.
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Ainsi :
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$$ \frac{\deriv N}{\deriv t } = - \lambda N $$
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Donc $$\boxed{ N = N_{0} \mathrm{e}^{-\lambda t} }$$
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On définit la période $T$ telle que :
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$$ N(T) = \frac{N_{0}}{2} = N_{0} \mathrm{e}^{-\lambda T} $$
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Donc $$ \boxed{ T = \frac{\mathrm{ln}(2)}{\lambda} }$$
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\paragraph{Remarque}
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$N(t) = N_{0} \times 2 ^{-\frac{t}{T}} $
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\paragraph{Radioactivité} On dit qu'un noyau est radioactif quand on peut mesurer sa période, c'est-à-dire quand :
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$$ 10^{-16} s < T < 10^{30} s $$
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\paragraph{Activité}
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L'activité $\A$ représente le nombre de désintégrations par unité de temps.
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%% A en cursif
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$$ \A = \lambda N $$
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Donc
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$\A = \left| \frac{\deriv N}{\deriv T} \right| $ dans le cas d'une seule population de noyaux radioactifs.
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$$ \A(t) = \lambda N_{0} \textrm{e}^{-\lambda T} = A_{0} \textrm{e}^{-\lambda T} $$
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\paragraph{Unités}
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\begin{itemize}
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\item
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Le Becquerel, 1 Bq = 1 désintégration/s.
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Unité peu appropriée aux mesures (corps humain, $\approx$ 8000 Bq)
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\item
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Le Curie. 1 Ci = $3,7.10^{10}$ Bq
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Activité de 1kg de Radon 226 (T = 1620 ans)
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\end{itemize}
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\paragraph{Désintégrations multiples}
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Pour un noyau radioactif, il peut y avoir plusieurs types de désintégrations possibles. Par exemple :
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\begin{center}
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\begin{tabular}{c c c }
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& $\overset{\lambda 1}{\longrightarrow}$ & $Y_{1}$ \\
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$X$& $\overset{\lambda 2}{\longrightarrow}$ & $Y_{2}$ \\
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& $\overset{\lambda 3}{\longrightarrow}$ & $Y_{3}$ \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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Alors $$ \lambda = \sum _{i} \lambda_{i} $$
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et on appelle \emph{rapport d'embranchement} $a_{i} = \frac{\lambda_{i}}{\lambda}$.
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\paragraph{Exemple : $^{221}_{86} Rn$}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{c c c }
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$^{221}_{86} Rn$ & $\overset{T_{1} = 1,89h}{\longrightarrow}$ & $^ {217}_{84} Po$ \\
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& $\overset{T_{2}=32,1min}{\longrightarrow}$ & $^{221}_{87} Fr$ \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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$\lambda_{1} = 1,02.10^{-4} s^{-1}$
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et
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$\lambda_{2} = 3,6.10^{-4} s^{-1}$
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$\lambda = 4,62.10^{-4} s^{-1} $
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$ T = $ 25 min
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\subsubsection{Filiations radioactives (chaînes radioactives)}
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\label{chaines}
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$$ X_{1} \overset{\lambda 1}{\longrightarrow} X_{2} \overset{\lambda 2}{\longrightarrow} X_{3} $$
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Chaîne radioactive à trois corps. $X_{3}$ est stable.
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\paragraph{}
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À $t=0$, on compte $N_{10}$ atomes de $X_{1}$, et aucuns de $X_{2}$ et de $X_{3}$.
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\paragraph{Évolution}
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\includegraphics[width=10cm]{chaine.eps}
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\caption{\label{chaine} $N_{1}$ en trait gras, $N_{2}$ en trait intermédiaire et $N_{3}$ en trait fin.}
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\end{figure}
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Que valent $N_{1}$, $N_{2}$ et $N_{3}$, $t$ secondes plus tard ?
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$$ \frac{\deriv N_{1}}{\deriv t } = - \lambda_{1} N_{1} $$
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d'où $$ N_{1}(t) = N_{1_{0}} \mathrm{e} ^{-\lambda_{1} t} $$
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Pour $N_{2}$
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$$ \frac{\deriv N_{2}}{\deriv t } = -\lambda_{2} N_{2} + \lambda_{1} N_{1} $$
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$$ \frac{\deriv N_{2}}{\deriv t } = -\lambda_{2} N_{2} + \lambda_{1} N_{1_{0}} \mathrm{e} ^{- \lambda_{1} t} $$
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D'où $$ N_{2}(t) = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}- \lambda_{1}} N_{1_{0}} (\mathrm{e} ^{-\lambda_{1} t} - \mathrm{e} ^{-\lambda_{2} t}) $$
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Puis $\frac{\deriv N_{3}}{\deriv t} = \lambda_{2} N_{2} $
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\paragraph{Autre méthode}
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Au départ, $N_{1_{0}}$ noyaux.
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$$ N_{1_{0}} = N_{1}(t) + N_{2}(t) + N_{3}(t) $$
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Ainsi $$N_{3}(t) = N_{1_{0}} ( 1 - \mathrm{e}^{-\lambda_{1} t}) - \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}- \lambda_{2}} N_{1_{0}} (\mathrm{e} ^{-\lambda_{1} t} - \mathrm{e} ^{-\lambda_{2} t}) $$
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\paragraph{Remarque}
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$N_{1}$ est une fonction monotone décroissante.
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$N_{3}$ est une fonction monotone croissante.
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On se demande si $ \exists{} t_{max} \mathrm{ t.q } \frac{\deriv N_{2}}{\deriv t}(t_{max})= 0 $. Après résolution :
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$$ t_{max} = \frac{1}{\lambda_{2} - \lambda_{1}} \mathrm{ln}\left(\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\right) $$
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% figure 7
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On observe que pour $t = t_{max}$, $\A_{1} = \A_{2} $.
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% figure 8 : tracé des activités
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\paragraph{Remarque}
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Cas particulier : $T_{1} \gg T_{2} $.
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La cinétique de la chaîne radioactive est gouvernée par l'élément 1. Cf. figure \ref{c1}.
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\begin{figure}[p]
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\centering
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\includegraphics[width=12cm]{chainel2ggl1.eps}
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\caption{\label{c1} Chaîne radioactive à trois éléments. $T_{1}\gg T_{2}$. $N_{1}$ en trait gras, $N_{2}$ en trait intermédiaire et $N_{3}$ en trait fin.}
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\end{figure}
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Si $T_{2} \gg T_{1}$ c'est l'élément 2 qui gouverne la chaîne. Cf. figure \ref{c2}.
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\begin{figure}[p]
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|
\centering
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\includegraphics[width=12cm]{chainel1ggl2.eps}
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\caption{\label{c2}Chaîne radioactive à trois éléments. $T_{2}\gg T_{1}$. $N_{1}$ en trait gras, $N_{2}$ en trait intermédiaire et $N_{3}$ en trait fin.}
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|
\end{figure}
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\subsection{Datation par carbone 14}
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\subsubsection{Principe}
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\paragraph{Origine du $\n{C}{14}{}$}
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Le $\n{C}{14}{}$ est radioactif, de période 5730 ans. Il provient du rayonnement cosmique selon la réaction :
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$$ \n{n}{1}{0}+ \n{N}{14}{7} \ra \n{C}{14}{6} + \n{H}{1}{1} $$
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$$ \n{C}{14}{6} \ra \n{N}{14}{7} + \n{e^{-}}{0}{-1} + \aneu $$
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% barre sur le nu
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\paragraph{Principe de la datation}
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On observe, dans l'atmosphère à l'équilibre un rapport constant $\frac{\n{C}{14}{}}{\n{C}{12}{}} \approx 1,2.10^{-12} $
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Les plantes, les êtres vivants absorbent des molécules de $CO_{2}$ avec
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$\frac{\n{C}{14}{}O_{2}}{\n{C}{12}{}O_{2}} \approx 1,2.10^{-12} $
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À la mort de l'échantillon, l'absorption de $CO_{2}$ s'arrête.
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Alors le $\n{C}{14}{} $ se désintègre, sa quantité diminue.
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Le rapport $\frac{\n{C}{14}{}}{\n{C}{12}{}} $ diminue donc dans l'échantillon.
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\paragraph{Calcul}
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Un gramme de carbone naturel a une activité de :
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$A_{0} = \lambda N = \frac{0,963}{5730\times365,25\times24\times3600}\times \frac{12.10^{-3}}{10}\times6,02.10^{23}\times 1,2^{-12} $,
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soit
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$A_{0} = 0,23$ Bq = 13,8 désintégrations/min.
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On pose $t=0$ à la mort de l'échantillon. Alors $A(t) = A_{0} \mathrm{e}^{-\lambda t}$.
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D'où $ t = \frac{1}{\lambda} \mathrm{ln}(\frac{A_{0}}{A}) $
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Enfin on obtient
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$\boxed{ t_{ans} = 19000 \log_{10} \frac{ A_{0}}{A(t)} }$
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\paragraph{Inconvénients de la méthode}
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hypothèse de la constance dans le temps du rapport $\frac{\n{C}{14}{} }{\n{C}{12}{}} = 1,2.10^{-12} $ (flux de neutrons dans l'atmosphère toujours à peu près le même).
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Méthode vérifiée jusqu'à 9000 ans.
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Fiabilité théorique : 40 000 ans.
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\paragraph{Radioactivité naturelle : Potassium 40}
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Ce potassium radioactif (radioactivité $\beta^{-}$) est présent dans nos os.
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Le corps humain génère naturellement 100 rayonnements $\beta ^{-} $ par seconde et par kg
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\subsubsection{Activation. Création de radioéléments artificiels}
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%fig 1
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$$ a + A \ra B^{*} + b$$
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\begin{itemize}
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\item
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a : particules incidentes
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\item
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A : cible
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\item
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$n$ : nombre de noyaux $B^{*}$ radioactifs créés
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\item
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$N$ : nombre de noyaux cibles $A$
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\end{itemize}
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\paragraph{Section efficace $\sigma$}
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La section efficace $\sigma$ est la fraction de particules par $\text{m}^{2}$ qui réagit avec un noyau cible.
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Elle correspond à une probabilité de réaction. Cette probabilité est de $\frac{\sigma}{S}$.
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%fig 2
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\paragraph{Ordre de grandeur}
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Surface du disque qui représente la taille du noyau.
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$$\sigma \approx \pi R_{0}^{2} A^{2/3}$$
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Pour $A=50$, $\sigma = 10^{-24}\text{cm}^{2}$
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Attention : $\sigma$ peut être très différent pour deux noyaux différents.
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\paragraph{Le barn}
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On définit une nouvelle unité : le barn.
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$$ 1 \text{barn} = 10^{-24} \text{cm}^{2} $$
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\paragraph{Évolution du nombre de noyaux cibles}
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$$\frac{\deriv N}{\deriv t} = - \sigma \Phi N$$
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$$ N(t) = N_{0} \mathrm{e} ^{ - \sigma \Phi t } $$
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Soit $\lambda$ la constante de désintégration de $B^{*}$.
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$$ \frac{\deriv n}{\deriv t} = + \sigma \Phi N - \lambda n$$
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Cf. résultats sur les chaînes radioactives (\ref{chaines} page \pageref{chaines}).
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$$ n(t) = \frac{\sigma \Phi N_{0}}{\lambda - \sigma \Phi}(\ex^{-\sigma \Phi t} - \ex^{-\lambda t }) $$
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En général, $ N \approx N_{0}$ et $ T_{\lambda} \ll T_{\sigma \Phi} $ : il est beaucoup plus difficile de créer $B^{*}$ que pour $B^{*}$ de se désintégrer.
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\paragraph{Activité}
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$\A = \lambda n \approx \sigma \Phi N_{0} (1 - \ex^{- \lambda t}) $
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%graphe de A
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\paragraph{Exemples}
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\begin{tabular}{c | c}
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Élément radioactifs artificiels & période \\
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\hline
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Tritium & 12,3 ans \\
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$\n{O}{15}{}$ (imagerie médicale) & 2 min \\
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Cobalt 60 & 5,27 ans \\
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Césium 137 (curiethérapie) & 30,2 ans \\
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$\n{Pu}{239}{}$ (fission) & 24 100 ans \\
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\end{tabular}
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\part{Réactions nucléaires. Fission. Fusion}
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\section{Introduction}
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Réaction nucléaire : interaction entre deux noyaux, ou entre une particule et un noyau, ou entre deux particules.
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Un des deux doit avoir suffisamment d'énergie pour initier la réaction.
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\subsection{Expérience historique}
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Première réaction nucléaire : Rutherford en 1919. Bombardement de l'azote par des particules alpha.
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$$ \He + \n{N}{14}{7} \ra \n{O}{17}{8} + \n{H}{1}{1} $$
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S'écrit aussi : $$ \n{N}{14}{} (\n{\alpha}{4}{2}, p) \n{O}{17}{} $$
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\subsection{Énergie}
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Une réaction peut être exothermique (énergie libérée) ou endothermique (énergie consommée).
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$$ 1 + 2 \ra 3 + 4 $$
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$$ Q = (M_{1} + M_{2} - M_{3} - M_{4}) c ^{2} $$
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$ Q > 0 $ : réaction exothermique
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$ Q < 0 $ : réaction endothermique
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\paragraph{Exemple}
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Fusion Deutérium-Tritium
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$$ \n{H}{2}{1} + \n{H}{3}{1} \ra \He + \n{n}{1}{0}$$
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$$ Q = (\Delta M) c ^{2} = \dots = - E_{l}(2,1) - E_{l}(3,1) + E_{l}(4,2) $$
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$$ Q = -2,2 - 8,5 +28,3 = 17,6 MeV$$
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Réaction exothermique : dégage de l'énergie.
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\section{Lois de conservation}
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\subsection{Conservation de la charge électrique}
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$$Z_{1} + Z_{2} = Z_{3} + Z_{4}$$
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\subsection{Conservation du nombre de nucléon}
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(peut être faux pour les très hautes énergies)
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$$ A_{1} + A_{2} = A_{3} + A_{4} $$
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\subsection{Conservation de l'énergie}
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(Souvent, pour les basses énergies, $T_{i} = \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} $ et $T_{i} \ll m_{i} c ^{2} $ )
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$$ Q = T_{3} + T_{4} - T_{1} - T_{2} $$
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\subsection{Conservation de la quantité de mouvement}
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En considérant que la particule (2) est au repos :
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% les v sont des vecteurs avec des flèches
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$$ m_{1} \vect{v_{1}} = m_{4}\vect{v_{4}} + m_{3}\vect{v_{3}} $$
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\section{Fusion nucléaire}
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\subsection{Premiers noyaux}
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D'après la théorie, peu après le Big-Bang, les premiers noyaux se forment : ce sont des $\n{H}{1}{1} $.
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\subsection{Cycle proton/proton}
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La gravitation rapproche les protons : la barrière coulombienne est vaincue : il y a fusion des protons. Ce phénomène a lieu de nous jours dans les étoiles.
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Globalement, le cycle proton/proton donne :
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$$ 4\n{p}{1}{0} \ra \He + 2\n{e^{+}}{0}{1} + 2 \neu $$
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Pour le Soleil, ce cycle proton/proton durera 12 milliards d'années.
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\paragraph{Remarques}
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Si $M_{\textrm{étoile}} \approx 0,3 M_{\textrm{soleil}}$ alors cela durerait 800 milliards d'année.
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Dans le Soleil, chaque seconde, 600 MT d'hydrogène fusionnent (transformées en He)
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\subsection{Fusion de l'Hélium}
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Si $M_{\textrm{étoile}} > 0,3 M_{\textrm{soleil}}$, la fusion de l'He commence.
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La température est de $10^{8}$ K.
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$$ \He + \He \ra \n{Be}{8}{4} + \gamma $$
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(Le Béryllium émet ensuite deux particules $\n{\alpha}{4}{2}$)
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$$\He + \n{Be}{8}{4} \ra \n{C}{12}{6} + \gamma$$
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$$ \n{C}{12}{6} + \He \ra \n{O}{16}{8} + \gamma $$
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Cela dure 200 millions d'années pour le Soleil.
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Pour le Soleil, le processus de fusion s'arrêtera là.
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\subsection{Évolutions possibles}
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Si $M_{\textrm{étoile}} > 6 M_{\textrm{soleil}} $, le processus peut continuer (200 ans) :
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$$ \n{C}{12}{6} + \n{C}{12}{6} \ra \n{Na}{23}{11} + \n{p}{1}{1} $$
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$$ \ra \n{Ne}{20}{10} + \n{\alpha}{4}{2} $$
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$$ \ra \n{Mg}{23}{12} + \n{n}{1}{0} $$
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Fusion du $Ne$ donnant du $Mg$ ne dure qu'un an.
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\subsection{Fusion de l'Oxygène}
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La fusion de l'Oxygène donne du Si, P, S (5 mois)
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+ $\n{\alpha}{4}{2}$, n $\ra$ Cl, Ar, K, Ca, Titane
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\subsection{Fusion du Silicium}
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Cela correspond aux derniers instants d'une étoile. La température est de
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T = 3 milliards de Kelvin
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Ce processus dure $\approx$ 1 jour
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$\n{Si}{28}{14}$ jusqu'à $\n{Fe}{26}{}$
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Processus endothermique, effondrement de l'étoile (la gravitation l'emporte). Donne une supernova.
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\section{Fission nucléaire}
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\subsection{Causes de la fission}
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Les noyaux peuvent se casser :
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\begin{itemize}
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\item seuls, c'est la fission \textbf{spontanée} ;
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\item à l'aide d'un neutron
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(capture), c'est fission \textbf{induite}.
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\end{itemize}
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\paragraph{Fission spontanée} Pour $Z \geq 110$. N'existe plus naturellement sur Terre.
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\subsection{Noyau fissible}
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On appelle \emph{noyau fissible} un noyau qui conduit à une fission après capture d'un neutron thermique (l'énergie cinétique de ce neutron est faible).
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Il en existe quatre :
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\begin{itemize}
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\item
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$\n{U}{235}{92}$,
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$T = 7.10^{8}$ ans (le seul naturel)
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\item
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$\n{U}{233}{92}$,
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$T = 1,6.10^{5}$ ans
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\item
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$\n{Pu}{239}{94}$,
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$T = 2,4.10^{4}$ ans
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\item
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$\n{Pu}{241}{94}$,
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$T =14$ ans
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\end{itemize}
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$$ Q_{fission} \approx M(A,Z) - 2 M(\frac{A}{2}, \frac{Z}{2}) $$
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\subsection{Noyau fertile}
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C'est un noyau qui conduit à un noyau fissible artificiel, après capture d'un neutron.
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\paragraph{Exemple}
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$$ \n{U}{238}{92} + \n{n}{1}{0} \ra \n{U}{239}{92} $$
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$$ \overset{\beta ^{-}}{\ra} \n{Np}{239}{93} + \n{e^{-}}{0}{-1} + \aneu $$
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$$ \overset{\beta ^{-}}{\ra} \n{Pu}{239}{94} $$
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$Pu$ noyau fissible : on dit que $\n{U}{238}{92}$ est fertile.
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\subsection{Fission de l'$\n{U}{235}{92}$}
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\subsubsection{Forme des réactions}
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$$ \n{U}{235}{92} + \n{n}{1}{0}\ra PF_{1} + PF_{2} + \textrm{énergie} + \textrm{neutrons} $$
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Il existe 40 réactions possibles donnant deux PF (produits de fissions), sauf dans un cas sur 5000 qui en donne trois.
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% graphe nombre de PF en fonction de A
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% Pics à 95 et 140
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\paragraph{}
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PF : $80< A < 110$ (\og légers \fg{})
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$125< A < 155$ (\og lourds \fg{})
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\paragraph{}
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Les PF se retrouvent au-dessus de la courbe de stabilité : radioactivité $\beta^{-}$.
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\subsubsection{Exemples de produits de fission}
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\begin{itemize}
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\item
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Iode $ \n{I}{131}{53} $, $T \approx$ 7 jours
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\item
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Césium $ \n{Cs}{137}{55}$, $T \approx$ 30 ans
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\item
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Xénon $ \n{Xe}{135}{54}$, \og poison\fg{}{} car section efficace grande
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|
\label{poisons}
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|
\item
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Samarium $\n{Sm}{149}{62}$, \og poison\fg{}, car idem
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\end{itemize}
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\subsubsection{Neutrons émis}
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$$ \n{U}{235}{92} + \n{n}{1}{0}\ra PF_{1} + PF_{2} + \textrm{énergie} + \nu \times \n{n}{1}{0} $$
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$\nu =$ 2 ou 3 neutrons émis par réaction
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$\overline{\nu}=$ 2,416 neutrons par fission de $\n{U}{235}{92}$
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Ce sont des neutron \og immédiats \fg{}{} ou \og prompts \fg{}{}.
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\subsubsection{Neutrons retardés}
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Il existe des neutrons dits \emph{retardés} (proportion $6,5.10^{-3}$) qui proviennent des PF
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\paragraph{Exemple}
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$$\n{Br}{87}{35} \overset{\beta^{-}}{\longrightarrow} \n{Kr}{87}{36} \overset{\beta^{-}}{\longrightarrow} \n{Rb}{87}{37} \underset{30\%}{\overset{\beta^{-}}{\longrightarrow}} \n{Sr}{87}{38} $$
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$$\n{Br}{87}{35} \underset{55s}{\overset{\beta^{-}}{\longrightarrow}} \n{Kr^{*}}{87}{36} $$
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2\% de $\n{Kr^{*}}{87}{36} \ra \n{Kr^{*}}{86}{36} + \n{n}{1}{0}$
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C'est un neutron retardé (émis 80s après la fission)
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En moyenne, pour tous les neutrons retardés, $\overline{\tau_{r}} =$ 13s (cf. exercice 1).
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\subsubsection{Énergie libérée} $\approx$ 200 MeV/fission.
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$3,1.10^{10}$ fissions/s pour une puissance de 1 W.
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\part{Principe de fonctionnement d'un réacteur nucléaire}
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\section{Réaction principale}
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$$\n{U}{235}{92} + \n{n}{1}{0} \ra PF + \overline{\nu} \n{n}{1}{0}$$
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$\overline{\nu}=2,416$
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Pour obtenir la réaction (régime \emph{critique}), il faut que :
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$$\frac{N_{\text{fissions}}}{N_{\text{neutrons}}} = \frac{1}{2,416} $$
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\section{Neutrons}
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|
\subsection{Classification des neutrons}
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|
\begin{itemize}
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\item
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$ N_{\text{fissions}} = N_{f}$ : servent à l'entretien de la réaction, vont entraîner $N_{f}$ fissions.
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|
\item
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$N_{\text{capturés}} = N_{c} $ : interaction avec le combustible, mais sans fission, ou interaction avec les autres éléments : modérateur, poisons, ...
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\item
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|||
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$N_{p}$ : pertes, fuites à l'extérieur du réacteur.
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|
\end{itemize}
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Le nombre total de neutrons est :
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$$N_{n} = N_{f} + N_{c} + N_{p} $$
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$$\frac{N_{f}}{N_{c}} = \frac{N_{f}}{N_{n} - N_{f} - N_{p}} =
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\frac{\frac{N_{f}}{N_{n}}}{ 1 - \frac{N_{f}}{N_{n}} - \frac{N_{p}}{ N_{n}}}
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\approx \frac{0,42}{1-0,42-\frac{N_{p}}{N_{n}}}
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\approx \frac{0,42}{0,58 -\frac{N_{p}}{N_{n}} }
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$$
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\subsection{Diminution des pertes}
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\subsubsection{Masse critique}
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Pour diminuer les pertes, augmenter la taille du réacteur. Il existe une \textbf{masse critique} en dessous de laquelle la perte de neutrons est trop importante. Pour l'$\n{U}{235}{92}$ la masse critique est de 50kg.
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Pour $\n{U}{238}{92} + \n{U}{235}{92}$ à 15\% : 600 kg.
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\subsubsection{Géométrie du réacteur}
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La géométrie idéale est la sphère.
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En réalité pour un réacteur le réacteur est de forme cylindrique, avec un rapport diamètre/hauteur optimisé.
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\subsubsection{Objectif}
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Dans un réacteur : $ \frac{N_{p}}{N_{n}} \approx$ 10 à 15 \%.
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Donc $\boxed{ \frac{N_{f}}{N_{c}} \approx 1}$ : objectif à atteindre pour produire de l'énergie (entretenir la réaction).
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\subsubsection{Moyens}
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\paragraph{}
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Dans le cœur, les neutrons interagissent avec :
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\begin{tabular}{c | l }
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\\ & --- captures $\to$ fissions (section efficace $\sigma_{f}$) \\
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$\n{U}{235}{92}$ & \\
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& --- captures stériles (section efficace $\prescript{5}{}{\sigma_{c}}$)\\
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\hline \\
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& --- captures fertiles (section efficace $\prescript{8}{}{\sigma_{c}}$, donne $Pu$) \\
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$\n{U}{238}{92}$ & \\
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& --- fissions rapides (négligeables) \\
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\end{tabular}
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\paragraph{Première idée : neutrons rapides}
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Il s'agit d'utiliser :
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$U_{\text{naturels}} + N_{\text{fissions}}$ (rapides)
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à 1 MeV.
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L'Uranium naturel est un mélange de 0,72\% de $\n{U}{235}{92}$ et 99,28\% de $\n{U}{238}{92}$.
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On obtient alors :
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\begin{itemize}
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\item
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$\prescript{8}{}{\sigma_{c}} = 0,1$ barn
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\item
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$\sigma_{f} = 1$ barn
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\item
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$\prescript{5}{}{\sigma_{c}} $ négligeable
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\end{itemize}
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Mais $\frac{N_{f}}{N_{4}}=\frac{0,72 \sigma_{f}}{ 99,28 \prescript{8}{}{\sigma_{c}}} = 0,07$, ce qui est très loin de 1 : \textbf{pas de fonctionnement possible} (pas de \emph{divergence} possible)
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\paragraph{Deuxième idée : neutrons thermiques}
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On utilise cette fois des neutrons \emph{thermiques} (ralentis).
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Les sections efficaces changent alors considérablement :
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\begin{itemize}
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\item
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$\prescript{8}{}{\sigma_{c}} = 2,7$ barn
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\item
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$\sigma_{f} = 550$ barn
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\item
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$\prescript{5}{}{\sigma_{c}} = 100$ barn.
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\end{itemize}
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\subparagraph{Modérateur}
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Nous avons besoin d'un matériau pour ralentir les neutrons : un \emph{modérateur} : ile doit ralentir les neutrons tout en les absorbant le moins possible.
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Ainsi $^{m}\sigma_{c}$ doit être faible.
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Le modérateur est soit liquide, soit solide, pour qu'il prenne le moins de volume possible à l'intérieur du réacteur.
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On obtient alors :
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$\frac{N_{f}}{N_{c}} =
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\frac{\sigma_{f}^{5}N}{\prescript{5}{}{\sigma_{c}}^{5}N + \prescript{8}{}{\sigma_{c}}^{8}N +
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^{m}\sigma_{c}^{m}R_{m} } $
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où
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$\prescript{5}{}{N} $ : proportion de matière $\n{U}{235}{92}$
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et
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$R_{m}$ : rapport de modération $= \frac{\text{volume modérateur}}{\text{volume combustible}}$
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\subparagraph{Les différents types de modérateurs}
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\subparagraph{}
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\begin{tabular}{c | c | c}
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Modérateur & $^{m}\sigma_{c} $ & Nb de chocs pour un neutron 1 MeV $\ra$ 1 neutron thermique \\
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\hline
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eau & 0,66 & $\approx$ 20 \\
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eau lourde $D_{2}0$ & 0,001 & $\approx$ 36 \\
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$C$ (graphite) & 0,034 & $\approx$ 115 \\
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\end{tabular}
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\section{Filières}
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\subsection{Eau et Uranium naturel}
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$\frac{N_{f}}{N_{c}} = 0,74$, divergence impossible.
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\subsection{Eau lourde et Uranium naturel}
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$\frac{N_{f}}{N_{c}} = 1,15$, divergence possible, filière CANDU :
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CAN : Canada,
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D : eau lourd (Deutérium),
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U : Uranium.
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\subsection{Carbone (graphite) et Uranium naturel}
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$\frac{N_{f}}{N_{c}} = 0,95 $, filière UNGG (il faut que les pertes soient inférieures à 10\%). C'est la pile de Fermi (1942).
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\subsection{Eau et Uranium enrichi (à 2,5\% en $\n{U}{235}{92}$)}
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$\frac{N_{f}}{N_{c}} = 2$ (90\% de la production d'électricité nucléaire mondiale)
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Deux filières : filière REB ou BwR : réacteur à eau bouillante (Russie par ex.)
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Filière REP (PwR) : réacteur à eau pressurisée.
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\paragraph{Combustible neuf} U : 3,9\% d'$\n{U}{235}{92}$ et 96,8\% d'$\n{U}{238}{92}$
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\paragraph{Au bout de trois ans} 95,7\% d'$U$ : 0,7\% d'$\n{U}{235}{92}$ et 95\% d'$\n{U}{238}{92}$ ainsi que 0,9\% de $Pu$ et des PF (3,4\%).
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\section{Cinétique de la réaction en chaîne}
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\subsection{Notations}
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$$k =\frac{\textrm{nb de fissions à une génération donnée}}{\textrm{nb de fission à la génération suivante}} = \frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{N_{2}}{N_{3}}
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$$
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Variation relative :
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$$ \rho = \frac{\delta N}{N} = \frac{N_{2}-N_{1}}{N_{1}} = \frac{1}{k} - 1 $$
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Une réaction est soit :
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\begin{itemize}
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\item
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critique : $k=1$
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\item
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surcritique : $\rho > 0$ soit $k < 1$
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\item
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sous critique : $\rho < 0$ soit $k > 1$
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\end{itemize}
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\subsection{Variation du nombre de fissions}
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$\tau$ : temps entre 2 générations (25$\mu s$, soit 40 000 générations/s)
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$$\frac{\deriv N}{\deriv t} = \frac{\delta N}{\delta t} = \frac{\rho N}{\tau}$$
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$$N(t) = N_{0} \ex^{\frac{\rho}{\tau}t} $$
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Si $\rho > 0 $ le nombre de fissions augmente exponentiellement
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Si $\rho < 0 $ le nombre de fissions diminue exponentiellement
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\subsection{Régime de fonctionnement}
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\subsubsection{Objectif}
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On souhaite se placer en régime critique $(k=1,\rho= 0)$
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Avec $k=1,001$, le nombre de neutrons est multiplié par $2,3.10^{17}$ en 1s. Il faut donc être très précis dans la maîtrise de $k$.
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\subsubsection{Contrôle du régime}
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Il est impossible de contrôler le nombre de neutrons immédiats (prompts).
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On se place alors en régime sous-critique avec les neutrons prompts.
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Pour atteindre $k=1$ (régime critique) on agit sur les neutrons retardés ($\overline{\tau_{r}} = 13s$, on a le temps de les contrôler).
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C'est l'action sur ces neutrons qui permet le contrôle et le pilotage du réacteur.
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Pour cela on utilise des barres de contrôle (en Cadmium) ainsi que les \og poisons \fg{}{} (comme le Xénon, cf. \ref{poisons} page \pageref{poisons}).
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